SOS Diffgeo fluxus?

Az `S` felület egy `z` tengelyű, `2` egység sugarú, `3` egység magasságú hengerpalástnak az `x`-`y` sík első síknegyede fölé eső része. Ennek paraméterezése `S: \mathbf{r}(u,v)``=``(2cos u)\mathbf{i}+(2 sin u)\mathbf{j}+v\mathbf{k}`, ahol `0 le u le pi/2` és `0 le v le 3` (WolframAlpha ábra: https://bit.ly/3ilEZvW ).

A fluxus:

`Phi=int_S \mathbf{F}(\mathbf{r}) d\mathbf{A}``=``int_0^3 int_0^{pi/2} \mathbf{F}(\mathbf{r}) * (\mathbf{r}'_u \times \mathbf{r}'_v) dudv`

Számoljuk ki ennek az integrálnak a részeit. A vektormező a görbe mentén:

`\mathbf{F}(\mathbf{r})=y\mathbf{j}=(2 sin u)\mathbf{j}`

A görbének a paraméterek szerinti deriváltjai:

`\mathbf{r}'_u=(-2sin u)\mathbf{i}+(2 cos u)\mathbf{j}`

`\mathbf{r}'_v=\mathbf{k}`

Az érintővektorok szorzata:

`\mathbf{r}'_u \times \mathbf{r}'_v``=``|(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}),(-2sin u,2 cos u,0),(0,0,1)|``=``(2 cos u)\mathbf{i}+(2 sin u)\mathbf{j}`

Végül a skaláris szorzat:

`\mathbf{F}(\mathbf{r}) * (\mathbf{r}'_u \times \mathbf{r}'_v)``=``4sin^2 u`

Tehát a fluxus:

`Phi=int_0^3 int_0^(pi/2) (4 sin^2 u) dudv``=``6int_0^(pi/2) (2sin^2 u) du``=``6int_0^(pi/2) (1-cos(2u)) du``=``6[u-1/2 sin (2u)]_0^{pi/2}``=``6[(pi/2-0)-(0-0)]``=``3pi`