Gyula megoldása teljesen jó, a teljesség kedvéért álljon itt egy, a felület paraméterezésén alapuló megoldás is.
A `z=x^2-y^2` felület és az `x^2+y^2=1` hengerpalást metszete egy térgörbe, nem felület. Gondolom, a henger belsejébe eső felületdarabot kérdezi a feladat, tehát a nyeregfelületnek az `x^2+y^2 le 1` hengerrel vett metszetét.
Az `x^2+y^2 le 1` körlap paraméterezése `(rho cos varphi)\mathbf{i} + (rho sin varphi)\mathbf{j}`, ahol `0 le varphi lt 2pi` és `0 le rho le 1`. A keresett felületdarab `z` koordinátája `x^2-y^2`, tehát a paraméteres egyenlete `S: \mathbf{r}(rho, varphi)``=``(rho cos varphi)\mathbf{i}+(rho sinvarphi)\mathbf{j}+(rho^2 cos^2 varphi-rho^2 sin^2 varphi)\mathbf{k}``=``(rho cos varphi)\mathbf{i}+(rho sin varphi)\mathbf{j}+(rho^2 cos(2varphi))\mathbf{k}` (WolframAlpha ábra:
https://bit.ly/3nmsIec )
A felszínhez az alábbi integrált kell kiszámítani:
`A=int_S dA=int_0^{2pi} int_0^{1} |\mathbf{r}'_{rho} \times \mathbf{r}'_{varphi}| d rho d varphi`
A paraméterek szerinti deriváltak:
`\mathbf{r}'_{rho}=(cos varphi)\mathbf{i}+(sin varphi)\mathbf{j}+(2rho cos(2varphi))\mathbf{k}`
`\mathbf{r}'_{varphi}=(-rho sin varphi)\mathbf{i}+(rho cos varphi)\mathbf{j}+(-2 rho^2 sin(2varphi))\mathbf{k}`
A vektoriális szorzatuk:
`\mathbf{r}'_{rho} \times \mathbf{r}'_{varphi}=|(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}),(cos varphi,sin varphi,2rho cos(2varphi)),(-rho sin varphi,rho cos varphi,-2 rho^2 sin(2varphi))|=`
`=[-2 rho^2 sin(2 varphi) sin varphi - 2 rho^2 cos(2 varphi)cos varphi]\mathbf{i}``+``[2 rho^2 sin(2 varphi) cos varphi - 2 rho^2cos(2 varphi) sin varphi]\mathbf{j}``+``[ rho cos^2 varphi + rho sin^2 varphi]\mathbf{k}=`
`=[-2 rho^2 cos varphi]\mathbf{i}+[2 rho^2 sin varphi]\mathbf{j}+rho \mathbf{k}`
Az abszolút érték:
`|\mathbf{r}'_{rho} \times \mathbf{r}'_{varphi}|``=``sqrt(4 rho^4 cos^2 varphi+4 rho^4 sin^2 varphi + rho^2)``=``sqrt(4 rho^4 + rho^2)``=``rho sqrt(4 rho^2 + 1)`
Tehát a felszín:
`A=int_0^{2pi} int_0^{1} rho sqrt(4 rho^2 + 1) d rho d varphi``=``2 pi int_0^{1} rho sqrt(4 rho^2 + 1) d rho`
Éljünk az `u=4rho^2+1` helyettesítéssel! Ekkor `(du)/(d rho)=8 rho`, tehát `d rho = 1/(8 rho) du`, és ha `rho in [0; 1]`, akkor `u in [1; 5]`:
`A=2 pi int_1^5 rho sqrt(u) 1/(8 rho) du``=``pi/4 int_1^5 sqrt(u) du``=``pi/4 [2/3 u^(3/2)]_1^5``=``pi/6(sqrt(125)-1)``~~``5.33`