Matek skatulya elv bizonyitásos valami

A különbségről/összegről azt érdemes tudni, hogy ha valamivel vesszük a maradékát, akkor a maradékok is kivonódnak/összeadódnak. Például 15 és 25 összege osztható 8-cal, mert 12 8-as maradéka 7, 30 8-as maradéka 1, 7+1=8, és mivel ez osztható 8- cal, ezért az összeg is.

Nézzük meg, hogy a különböző esetekben milyen maradékok maradnak; 8-féle négyzetszámot tudunk megkülönböztetni aszerint, hogy alapjaik milyen maradékot adnak 8-cal;

(8k)², ez értelemszerűen 0 maradékot ad.
(8k+1)²=64k²+16k+1, ez 1 maradékot ad.
(8k+2)²=64k²+32k+4, ez 4-et.
(8k+3)²=64k²+48k+9, ez 1 maradékot ad, mivel 9 8-as maradéka 1.
(8k+4)²=64k²+64k+16, ez 0 maradékot ad.
(8k+5)²=64k²+80k+25, 25 8-as maradéka 1, tehát 1.
(8k+6)²=64k²+96k+36, 4 a maradék.
(8k+7)²=64k²+112k+49, itt pedig 1 a maradék.

Tovább nem érdemes folytatni, mivel a következő a 8k+8 lenne, ami 8-cal osztható, tehát a 8k-nál kapott eredményt fogja adni, a többi pedig uganígy ismétlődni fog.

Látható, hogy 3 maradékosztály keletkezett; 0,1,4. Ami jó is nekünk, mivel ha 4 számot választunk ki, akkor biztosan lesz 2 olyan, amelyek ugyanabba a maradékosztályba (skatulyába) kerülnek, azok különbsége pedig biztosan osztható lesz 8-cal, mivel a maradékok különbsége 0, és ha amaradékok különbsége 0, akkor biztos, hogy osztható a szám.