Mind kell?

1.a, 2=log3(x+1) /alakítsuk át a 2-est 3-as alapú logaritmusra/
log39=log3(x+1) /a 3-as alapú logaritmus függvény monoton nő, ezért a logaritmusok elhagyhatóak/
9=x+1, amiből x=8
Ellenőrzés:
log3(8+1)= log39=2

1.b, lg(x-2)+lg(x+3)=lg24 /logab+logac=loga(b*c) azonosságot felhasználva/
lg(x-2)(x+3)=lg24 / a tízes alapú logaritmus függvény monoton nő, ezért a logaritmusok elhagyhatók/
(x-2)(x+3)=24 /elvégezve a zárójelek szorzását/
x2+3x-2x-6=24 /összevonás és nullára rendezés után/
x2+x-30=0 /jöhet a megoldóképlet/
x1,2=-b±√[b2-4ac]/2a=-1±√[1-4*1*(-30)]/2=-1±√121/2 =-1±11/2, amiből x1=-1+11/2=5 és x2=-1-11/2=-6

1.c, 5x*5=52x-4 /felhasználva az am*an=am*n azonosságot/
5x+1=52x-4 /az 5x függvény monoton nő,ezért az alapok elhagyhatók/
x+1=2x-4 /rendezve az egyenletet/
5=x

1,d. 7x[hatvany]2-2x-8[/hatvany]=1 /mivel minden szám nulladik hatványa 1/ 7x[hatvany]2-2x-8[/hatvany]=70 /a 7x függvény monoton nő, ezért az alapok elhagyhatók/
x2-2x-8=0 /jöhet a megoldóképlet/
x1,2=-b±√[b2-4ac]/2a=2±√[4-4*1*(-8)]/2=2±√[4+32]/2=2±√36/2=2±6/2, amiből x1=2+6/2=4 és x2=2-6/2=-2

2. Valamennyi feladatnál az alapot kell átírni hatványformába és utána felhasználni a (am)n=am*n azonosságot

a, 82/3=(23)2/3=23*2/3=26/3=22=4
b. 91/2=(32)1/2=32*1/2=32/2=31=3
c, 274/3=(33)4/3=33*4/3=312/3=34=81

3. Mivel oldalak és szögek vannak megadva, így szinusz és koszinusztételek használatával oldjuk meg a feladatot.
Először is két oldal és a közbezárt szög segítségével keressük a harmadik oldalt:
a=10cm, b=15cm, γ=60⁰, c=?
Felhasználva a koszinusz tételt:
c2=a2+b2-2ab*cosγ
c2=102+152-2*10*15*cos60⁰
c2=100+225-130*0,5=175
amiből gyökvonás után c=13,23cm

Most hogy megvan a harmadik oldal jöhetnek a szögek a szinusztétel segítségével:
b/c=sinβ/sinγ
15/13,23=sinβ/sin60⁰
1,1338=sinβ/0,8660 /beszorozva 0,8660-nal mindkét oldalt/
0,9818=sinβ, amiből visszakeresés után β=79⁰
Már csak az α van hátra. Tudjuk hogy α+β+γ=180⁰, ezt felhasználva:
α+79+60=180, amiből az α=41⁰

4. A két pont távolsága az A-ból B-be mutató vektor hosszával egyenlő. Ehhez először határozzuk meg a vektort:
A(-2;3) és B(1;7) amiből AB vektort úgy kapjuk, hogy a végpont koordinátáiból kivonjuk a kezdőpont koordinátáit:
AB(1-(-2);7-3)=(3;4).
A távolság= √ x2+y2 , vagyis
√ 32+42 =√ 9+16 =√ 25 =5

5. 3x-4y=7 egyenletnek a jobboldala lényegtelen a feladat szempontjából, vagyis marad 3x-4y
Tekintetbe véve hogy két vektoros egyenes egyenletet is tanultál, mindkettő használható:
Az irányvektoros szerint:
v2x-v1y=v2x0-v1y0, ahol az irány vektor koordinátái v1 és v2
Itt is hagyjuk figyelmen kívül a jobb oldalt és kapcsoljuk össze a két egyenlet baloldalát:
v2x-v1y=3x-4y amiből látható, hogy v1=4 és v2=3 vagyis v(4;3)
A normálvektoros egyenlet szerint:
Ax+By=Ax0+By0 ahol a normálvektor koordinátái A és B
Itt is hagyjuk figyelmen kívül a jobb oldalt és kapcsoljuk össze a két egyenlet baloldalát:
Ax+By=3x-4y amiből látható hogy A=3 és B=-4 vagyis n(3;-4)

6. A szakasz felezőpontja a két végpont megfelelő koordinátáinak átlagaként kapjuk, azaz:
F(x1+x2/2;y1+y2/2)
F(-1+5/2,-2+0/2)
F(2;-1)

7. Egy kör és egy egyenes egymáshoz viszonyított helyzete háromféle lehet:
- A kört metsző egyenes (két közös pont)
- A kört érintő egyenes (egy közös pont
- A körön kívül húzott egyenes (nincs közös pont)
Hogy ezt meg tudjuk állapítani írjuk egymás alá a két egyenletet:
I. x+y=4
II. (x-1)2+(y-1)2=4
A két kétismeretlenes egyenlet, így egy egyenletrendszert alkot.
Fejezzük ki a felsőből az x-et:
x=4-y
Helyettesítsük be x-helyére a másodikba:
(4-y-1)2+(y-1)2=4
(3-y)2+(y-1)2=4 /bontsuk fel a zárójeleket, használva az (x+y)2=x2+2xy+y2 azonosságot/
9-6y+y2+y2-2y+1=0 /összevonás és nullára rendezés után/
2y2-8y+6=0 /osszuk el mindkét oldalt kettővel/
y2-4y+3=0 /jöhet a megoldóképlet/
y1,2=-b±√ b2-4ac /2a=4±√ (-4)2-4*1*3 /2*1=4±√ 16-12 /2=4±√ 4 /2, mivel a gyök alatt pozitív szám áll az egyenletnek 2 megoldása is lesz, tehát:
Az egyenes metszi a kört

8. A keresett derékszögű háromszög egyik csúcsa az origo (0;0) pont. A másik két csúcshoz használjuk fel a következőket:
x tengely egyenlete: y=0
y tengely egyenlete: x=0
az egyenes egyenlete: 5x+6y-30=0

Határozzuk meg az egyenes és az x tengely metszéspontját:
5x+6y-30=0
y=0
A másodikat az elsőbe helyettesítve:
5x-30=0
5x=30
x=6
Tehát a metszéspont: (6;0)

Határozzuk meg az egyenes és az y tengely metszéspontját:
5x+6y-30=0
x=0
A másodikat az elsőbe helyettesítve:
6y-30=0
6y=30
y=5
Tehát a metszéspont: (0;5)

Tehát a háromszög csúcsai: (0;5), (0;0), (6;0), amiből a két befogó 5 és 6 egység hosszú.
A derékszögű háromszög területét megkapjuk, ha a két befogó szorzatát elosztjuk 2-vel:
6*5/2=15. Vagyis a háromszög területe 15négyzetegység