Természetesen nem kötelező ábrázolással megoldani, de mégiscsak jobb, hogy látod, amiit kell.

Az egyenlőtlenségeknél az a lényeg, hogy először kiszámolod, hogy mi lenne, hogyha egyenlő lenne (ez meg is csináltad, úgyhogy ez nagyon jó).

Maradva a példádnál, meg kell nézni, hogy azon két szám között, amiket megadtunk, van-e megoldás, ezt úgy tudjuk megtenni, hogy kiválasztunk onnan egy számot, és megnézzük, hogy igazzá teszi-e az egyenlőtlenséget; ha igen, akkor marad az a két szám, amit leírtál, tehát egyik szám+periódus<x<másik szám+periódus alakú lesz az eredmény, ha nem, akkor a kisebbik számot eltoljuk a periódussal, és az új páros között nézzük, hogy van-e megoldás.

A megoldás viszont nem jó, mivel π/3-at és 5π/3-t kell jelölni az egységkörön, mivel ezek felének szinusza lesz 1/2. Most azt kell megnézni, hogy az ezek közé eső számok közül lesz-e olyan, amelynek felének szinusza 1/2-nél több. Kézenfekvő választás a π/2, ennek fele π/4, ennek szinusza √2/2, ami értelemszerűen több, mint 1/2. Mivel ez igazzá teszi a megoldást, ezért a két szám közé eső összes többi is jó lesz, tehát az egyenlőtlenség megoldása π/3+k*4π<x<5π/3+k*4π, ahol k tetszőleges egész szám.

Ha fordítva lenne a reláció, akkor a fenti megoldás nem lenne jó, így helyette kell keresni egy másikat; a kisebb számot eltoljuk a periódussal, így π/3+4π=13π/3-at kapunk. Most azt kell megvizsgálni, hogy az 5π/3 és a 13π/3 számok közé eső számok között van-e olyan, amelyik igazzá teszi az egyenlőtlenséget (természetesen lesz, más különben nem kellett volna az előbb arrébb másznunk); Kézenfekvő választás 2π, mivel ennek fele π, ennek szinusza sin(π)=0, ami kevesebb 1/2-nél, tehát ez lesz a keresett számhalmaz. A válasz: 5π/3+k*4π<x<13π/3+k*4π.

Azzal pedig sokra nem mész, hogyha nem tanulod meg a függvényábrázolást, mert egy csomó dolgot anélkül nem lehet megcsinálni (például ha konkrétan az a feladat, hogy ábrázold, akkor nincs más választásod).

Én sem tudom ábrázolás nélkül elképzelni a megoldást. Itt elmondom, hogy én hogyan oldom meg: https://www.youtube.com/watch?v=oqP_oIKNuvU

Egyetértek Rantnaddal, hogy úgyis meg kell tanuld a függvényábrázolást.
Viszont az ilyen feladatokhoz még nincs igazán rá szükség. Elég az, ha tudod, hogy a sin x-nek hogy néz ki a képe.

Nézzük inkább ezt, ez kicsit izgalmasabb annál, mint amit te írtál:
sin(3x - π/2) < 1/2
(Attól izgalmasabb, hogy <1/2 van benne >1/2 helyett, nem igazán azért, mert bonyolultabb a kifejezés.)

Hozzunk be egy új változót, az a legtöbb esetben sokat segít:
α = 3x - π/2
sin α < 1/2

Ezzel az új változó trükkel nem kell ábrázolnod az eredeti függvényt, csak a sima szinuszt, ami gond nélkül kell menjen. Rajzold fel nagyjából a füzetedbe, és húzz egy vízszintes vonalat 1/2-es magasságnál. Ahol a szinuszgörbe ez alatt megy, az a rész lesz a megoldás. Húzd ki más színnel ezeket a szakaszokat.
Periódusosan ismétlődő szakaszokat kapsz. Válaszd ki az egyiket, a többi 2π-kkel odébb van.

Én mondjuk azt a szakaszt választom, aminek az egyik végpontja a 30°, a másik viszont nem a 150° (e kettő között 1/2-nél magasabban megy a szinusz), hanem negatív oldalon a 150°-360° = -210°:
(Lehetne más szakaszt is választani, mondjuk a 150° és 360°+30° közöttit... mindegy)
Tehát itt tartunk:
-210° < α < 30°
Írjuk át inkább radiánba:
-7π/6 < α < π/6
Ez csak egy periódus, a többi 2π-kkel odébb van:
k·2π - 7π/6 < α < k·2π + π/6
ahol k ∈ ℤ, és fontos, hogy most a két oldalon a k ugyanaz!

Most már visszatérhetünk az x kiszámolására, írjuk be α helyére a 3x-π/2-t:
k·2π - 7π/6 < 3x - π/2 < k·2π + π/6
Adjunk mindhárom kifejezéshez π/2-t:
k·2π - 7π/6 + π/2 < 3x < k·2π + π/6 + π/2
Vonjunk össze (π/2 = 3π/6)
k·2π - 4π/6 < 3x < k·2π + 4π/6
Tudunk egyszerűsíteni 2-vel:
k·2π - 2π/3 < 3x < k·2π + 2π/3
Osszunk 3-mal:
k·2π/3 - 2π/9 < x < k·2π/3 + 2π/9

Kész.