Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Trigonometrikus egyenletek

710
A trigonomentrikus egyenletek az utolsó témakör aminél tartok jelenleg.
A nagyon alap dolgokat tudom (nevezetes szöggfüggvények értékei), akkor az olyan azonosságokat, hogy tg = sin/cos, vagy ctg = cos/sin
És sin^2 x + cos^2 x = 1,
sin (alfa + beta) = sin(alfa)*cos(beta) + cos(alfa)*sin(beta)
cos (alfa + beta) = cos(alfa)*cos(beta) + sin(alfa)*sin(beta)
kivonásoknál ugyanez csak - jellel köztük.

Tudom továbbá, hogy valós számok esetén nem szögeket adunk eredménynek, hanem radián értékeket.
Meg, hogy sok esetben az eredmények ilyenkor ismétlődőek szoktak lenni (végtelenek), a k*2Pi esetekben.

De vannak olyan egyenletek, amiket nem tudok ezek ellenére sem megoldani.
Ezekben kérném a segítségeteket.
Hogy mikre kell még ezekre figyelni, mire ügyeljek aminek a segítségével ezek menni fognak, stb.

Igen, sajnos a szögfüggvényes témakör mindig alapból a gyengéim közé tartozott, szóval..

Csatolom pár feladatnak a képét, ha ezekből párat megmutatnátok nekem magyarázattal, az szerintem életmentő tudna lenni számomra.
Ezek közül egyiket sem tudom megcsinálni sajnos.
Próbálkoztam, de.. csak a legelső (82-es feladat) sikerült, ott az eredmény x= 45 = Pi/4 , (attól függően miben kérik az eredményt), ezt ahogy láttam nagyjából jó is lenne, de ezt az eredményt sem rendes számolással, hanem inkább logikával oldottam sajnos meg, szóval érted.. nem az igazi...

A feladatokhoz a kép: http://imgur.com/a/PIuyq

Előre is köszi!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

4
Sima egyenleteket, például sin(x)=1/2 meg tudsz oldani? Ha igen, akkor annak mintájára kell megoldani az első kettőt.

A második kettő másodfokúra visszavezethető egyenlet lesz, csak arra kell törekedni, hogy csak szinusz vagy csak koszinusz legyen, ezt a fent leírt azonosság szerint tudod elérni.

Az utolsó szintén másodfokúra visszavezethető lesz, ha a ctg(x)=1/tg(x) átírást használod.

A 86-osnak van egy kis trükkje, azt majd leírom, ha a többi megvan.
1

Rendben, köszi!

Elvileg megvannak az eredmények a többire!

Szóval a 82-es az mint ahogy írtam is x=45

83-as: x=-6, mivel  3 /2 cosinus az 30 fok, és Pi/5 = 36 fok, tehát -6+36=30

84-es: a két gyök 3 és 1/2, de szögfüggvénynek az értéke -1 és 1 között kell hogy legyen, így az egyetlen jó megoldás 1/2!

85-ös: az átalakítást így csináltam meg: 2*(1-cos^2 x) + 3*cos x + 0
2-2*cos^2 x + 3*cos x = 0
-2*cos^2 x + 3*cos x + 2 = 0
ezt megoldottam, aminek a gyökei: -1/2 és 2, szabály ugyanaz, hogy 2 nem lehet megoldás, tehát -1/2 a megoldás!

87-es: átalakítás után ez volt ugyebár: tg x + 1/tg x =  3 
utána beszorzok tg x-el:
tg^2 x + 1 =  3 *tg x
átcsoportosítás után:
tg^2 x -  3 *tg x + 1 = 0
Megoldóképletnél a gyökjel alatt negatív szám lenne (3-4), tehát nincs megoldás.


Remélem sehol sem rontottam el.
Várom a 86-os trükkjét és köszi a segítséget!
0

Az a baj, hogy ez így még mindig kevés... Egyrészt kell a periódus, amit fent le is írtál, másrészt ezeknek általában két negyedben van megoldása, így például a cos(x)=-1/2-nek nem csak a 120° a megoldása (amit persze át kell még váltani radiánba), hanem 240˛-nál is, vagy, ha úgy jobban tetszik, akkor -120°-nál (mivel a cos(x) függvény páros függvény, vagyis szimmetrikus az y-tengelyre).

A 86-os nál a trükk, hogy a bal oldal átírható -sin(2x) alakra, tehát az egyenlet: -sin(2x)=cos(2x), innen pedig osztás után a tg(2x)=-1 egyenlethez jutunk. Ugyanúgy kell megoldani, mint eddig, de arra figyelni kell, hogy A PERIÓDUST IS OSZTANI KELL 2-VEL, csak úgy, mint a 82-esnél.
1

> Tudom továbbá, hogy valós számok esetén nem szögeket adunk eredménynek, hanem radián értékeket.

Lehet szögben is megadni a megoldást, de akkor oda kell írni a fokot, valamint nem szabad keverni a fokot a radiánnal.
Tehát pl. sin x = 1/2 egyik megoldása lehet az, hogy x=30°, ami ugyanaz, mint x=π/6. És persze van még sok további megoldás is.

> Meg, hogy sok esetben az eredmények ilyenkor ismétlődőek szoktak lenni (végtelenek), a k*2Pi esetekben.
Mindig végtelen sok megoldás van, nem csak sok esetben. Viszont egyáltalán nem biztos, hogy k·2π az ismétlődés. Nézzük mondjuk a 82-est:

sin(2x - π/3) = 1/2
Úgy járunk a legjobban, ha bevezetünk egy új ismeretlent:
α = 2x - π/3
sin α = 1/2
Erről ránézésre tudja az ember, hogy α=30° egy jó megoldás. De van másik is. A szinusznál ezt érdemes megjegyezni:
sin α = sin(180°-α)
Ebből kijön, hogy α = 180°-30° = 150° szintén megoldás. Most már megvan az egy perióduson belüli két megoldás (sin és cos esetén van 2 megoldás periódusonként, tg és ctg esetén csak egy van).
Aztán ehhez hozzájön még a periódus, ami sin és cos esetén 360°:
α₁ = 30° + k·360°
α₂ = 150° + k·360°
Itt k lehet pozitív vagy negatív egész szám is (persze 0 is), amit úgy szoktunk írni, hogy k ∈ ℤ
Fontos azt is megjegyezni, hogy az α₁ és α₂-nél lévő k nem ugyanaz! Lehetne úgy is írni, hogy k₁ és k₂, de általában csak sima k-t szoktunk írni.

Végül vissza kell térni α-ról az x-re. Mivel α = 2x - π/3-ban szerepel egy π/3, ezért hogy ne keveredjenek a fokok és a radiánok, α radiánban kell.
α₁ = π/6 + k·2π
α₂ = π - π/6 + k·2π
---
2x₁ - π/3 = π/6 + k·2π
2x₁ = π/3 + π/6 + k·2π = π/2 + k·2π
x₁ = π/4 + k·π
Vagyis a periódus a végeredményben nem 2π, hanem csak π lett!
---
A másik:
2x₂ - π/3 = π - π/6 + k·2π
2x₂ = π/3 + π - π/6 + k·2π = π + π/6 + k·2π = 7π/6 + k·2π
x₂ = 7π/12 + k·π

----------------------------
Szóval szinusz és koszinusz esetén 2 megoldás van periódusonként. Ha ránézésre (vagy számológéppel) megvan az egyik, akkor a másikat ezek az azonosságok adják meg (most mondjuk radiánban):
sin x = sin(π-x)
cos x = cos(-x)
... és a periódus 2π
tg és ctg esetén 1 megoldás van periódusonként, de a periódus rövidebb, π.
Módosítva: 3 éve
0