Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Exponenciális egyenletek
noxter-norxert1704
kérdése
1013
Vannak amiket meg tudok csinálni, és van pár, ami kifog rajtam, mert nem tudom közös alapra hozni őket:
1.) Feladat:
7^(x+1) + 2*7^x - 7^(x-1) = 434
2.) Feladat:
2^2x = 3^x
3.) Feladat:
5^x + 125*5^-x = 30
Előre is köszi a magyarázatot is!
1.) Feladat:
7^(x+1) + 2*7^x - 7^(x-1) = 434
2.) Feladat:
2^2x = 3^x
3.) Feladat:
5^x + 125*5^-x = 30
Előre is köszi a magyarázatot is!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Rantnad
{ 
}
megoldása
A hatványozásazonosságokat kell tudni hozzá:
1. aⁿ*am=an+m, vagyis ha azonos alapú hatványokat szorzunk, akkor az eredmény felírható úgy is, hogy az alapot a tényezők kitevőinek összegére emeljük. Például 2²*2³, ez felírható definíció szerint (2*2)*(2*2*2) alakban, ez pedig szintén definíció szerint felírható 2⁵ alakban. 2+3=5.
2. aⁿ/am=an-m, hasonlóan az előzőhöz, csak itt kivonjuk a kitevőket. Például 2⁵/2³=(2*2*2*2*2)/(2*2*2), láthatóan lehet a kettesekkel egyszerűsíteni, így marad 2*2=2². Az is megeshet, hogy a kitevő negatív, ekkor az eredmény egy tört lesz, például: 2³/2⁸=(2*2*2)/(2*2*2*2*2*2*2*2)=1/(2*2*2*2*2)=1/2⁵, viszont a fenti azonosság szerint ez 2-5.
3. (aⁿ)m=an*m, tehát hatvány hatványozásánál az eredményt úgy is megkaphatjuk, hogyha az alapot a kitevők szorzatára emeljük, például (3²)⁴ felírható definíció szerint 3²*3²*3²*3², ez pedig az előbbi azonosság szerint 32+2+2+2=34*2 alakban.
4. (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ, vagyis tört hatványozása esetén a számlálót és a nevezőt külön-külön hatványozhatjuk. Például (2/3)⁴=(2/3)*(2/3)*(2/3)*(2/3)=(2*2*2*2)/(3*3*3*3)=2⁴/3⁴.
Akkor most a feladatok;
1. 7x+1 a fenti azonosság szerint felírható 7¹*7x=7*7x alakban, ugyanígy a harmadik felíarható 7-1*7x=(1/7)*7x alakban, tehát:
7*7x + 2*7x - (1/7)*7x =434
Látható, hogy ismeretlenként csak 7x szerepel, ezért a jobb áttekinthetőség kedvéért átírhatjuk; legyen 7x=z, ekkor
7z + 2z - (1/7)*z =434, ezt az egyenletet már meg tudjuk oldani, és z=49-et kapunk. Mivel z=7x, ezért 49=7x,, ennek pedig az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt 1 megoldása van, ami pedig az x=2.
2. Ha jól sejtem, akkor az egyenlet ez: 22x=3x, a bal oldal a fentiek értelmében átírható 4x alakra. Ha ezzel osztunk, ezt kapjuk: 1=3x/4x, ezután a jobb oldal szintén a fentiekből adódóan átírható (3/4)x alakra, vagyis az egyenlet: 1=(3/4)x, ennek pedig ránézésre x=0 a megoldása, és más nincs is, mivel a (3/4)x függvény szigorúan monoton csökkenő.
3. 5-x=1/5x, így lesz egy olyan egyenletünk, ahol csak 5x van; ha azt elnevezzük z-nek, akkor:
z + 125*(1/z) = 30, amiből egy másodfokú egyenlet fog kerekedni. Ezt már be tudod fejezni?
1. aⁿ*am=an+m, vagyis ha azonos alapú hatványokat szorzunk, akkor az eredmény felírható úgy is, hogy az alapot a tényezők kitevőinek összegére emeljük. Például 2²*2³, ez felírható definíció szerint (2*2)*(2*2*2) alakban, ez pedig szintén definíció szerint felírható 2⁵ alakban. 2+3=5.
2. aⁿ/am=an-m, hasonlóan az előzőhöz, csak itt kivonjuk a kitevőket. Például 2⁵/2³=(2*2*2*2*2)/(2*2*2), láthatóan lehet a kettesekkel egyszerűsíteni, így marad 2*2=2². Az is megeshet, hogy a kitevő negatív, ekkor az eredmény egy tört lesz, például: 2³/2⁸=(2*2*2)/(2*2*2*2*2*2*2*2)=1/(2*2*2*2*2)=1/2⁵, viszont a fenti azonosság szerint ez 2-5.
3. (aⁿ)m=an*m, tehát hatvány hatványozásánál az eredményt úgy is megkaphatjuk, hogyha az alapot a kitevők szorzatára emeljük, például (3²)⁴ felírható definíció szerint 3²*3²*3²*3², ez pedig az előbbi azonosság szerint 32+2+2+2=34*2 alakban.
4. (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ, vagyis tört hatványozása esetén a számlálót és a nevezőt külön-külön hatványozhatjuk. Például (2/3)⁴=(2/3)*(2/3)*(2/3)*(2/3)=(2*2*2*2)/(3*3*3*3)=2⁴/3⁴.
Akkor most a feladatok;
1. 7x+1 a fenti azonosság szerint felírható 7¹*7x=7*7x alakban, ugyanígy a harmadik felíarható 7-1*7x=(1/7)*7x alakban, tehát:
7*7x + 2*7x - (1/7)*7x =434
Látható, hogy ismeretlenként csak 7x szerepel, ezért a jobb áttekinthetőség kedvéért átírhatjuk; legyen 7x=z, ekkor
7z + 2z - (1/7)*z =434, ezt az egyenletet már meg tudjuk oldani, és z=49-et kapunk. Mivel z=7x, ezért 49=7x,, ennek pedig az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt 1 megoldása van, ami pedig az x=2.
2. Ha jól sejtem, akkor az egyenlet ez: 22x=3x, a bal oldal a fentiek értelmében átírható 4x alakra. Ha ezzel osztunk, ezt kapjuk: 1=3x/4x, ezután a jobb oldal szintén a fentiekből adódóan átírható (3/4)x alakra, vagyis az egyenlet: 1=(3/4)x, ennek pedig ránézésre x=0 a megoldása, és más nincs is, mivel a (3/4)x függvény szigorúan monoton csökkenő.
3. 5-x=1/5x, így lesz egy olyan egyenletünk, ahol csak 5x van; ha azt elnevezzük z-nek, akkor:
z + 125*(1/z) = 30, amiből egy másodfokú egyenlet fog kerekedni. Ezt már be tudod fejezni?
0
- Még nem érkezett komment!