Szögfüggvények

2)
A vektorok összeadása-kivonása egyszerúen koordinátánként megy.
2a = 2·(-3, 5) = (-6, 10)
2a-b = (-6, 10) - (4, -2) = (-6 - 4, 10 - (-2)) = (-10, 12)

3)
sin π/4 = sin 45°: be kell magolni, hogy √2/2
.........
cos 2π/5 ... ez nem szokott gimiben előjönni, legfeljebb emelt matekon, de te szerintem nem ott vagy. Úgyhogy lehet, hogy lehet számológépet használni?
2π/5 = 360°/5 = 72°, cos 72° nézd meg a számológépeden.

.......
Ha nem lehet gépet használni, akkor pl. így megy:
2π/5-nek nézzük a dupláját:
cos(4π/5) = cos(2π - 4π/5) = cos(6π/5)
vagyis ha α = 2π/5, akkor
cos(2α) = cos(3α)
A kétszeres koszinuszra tanultatok képletet, a háromszoros meg 2α+α módon megy, amire le lehet vezetni képletet, ez lesz:
cos 2α = 2cos²α - 1
cos 3α = 4cos³α - 3cosα
Ha az egyszerűség kedvéért cos α helyett x-et írunk:
2x² - 1 = 4x³ - 3x
4x³ - 2x² - 3x + 1 = 0
Harmadfokú egyenletre megoldóképletet nem tanultatok, de szerencsével rá lehet jönni, hogy ki lehet emelni (x-1)-et:
(x-1)·(4x²+2x-1) = 0
Ennem megoldásai: x₁ = 1, x₂₃ pedig a másodfokú megoldóképletből jön:
x₂₃ = (-2 ± √(2² - 4·4·(-1)) / (2·4)
x₂₃ = (-1 ± √5)/4

x = cos 2π/5, ennek pozitívnak kell lennie, vagyis csak egy megoldás jó a háromból:
cos 2π/5 = (-1 + √5)/4

.........
cos(11π/6)
Ez is hasonlóan sok lépésben menne, nem írom le, nem hiszem, hogy örülnél neki...
Valószínű számológéppel kell számolni, csináld úgy.

4)
sin α = 4/5
A többi szögfüggvényhez be kell magolni összefüggéseket. Ez az egyik legfontosabb:
sin² α + cos² α = 1
16/25 + cos²α = 1 → cos²α = 9/25
Ebből kétféle cos is kijön:
cos α₁ = 3/5
cos α₂ = -3/5

Ha megvan a sin és a cos is, akkor a tg és ctg már egyértelmű:
tg α = sin α / cos α = (4/5) / (±3/5) = 4/3 vagy -4/3
ctg ennek a reciproka.

.....
Ha cos α van megadva, hogy 12/13, hasonlóan jön ki a sin α, aztán tg, ctg. Próbáld meg.

5)
Itt be kell magolni a 30°, 60° és 45° szögfüggvényeit.
sin 30 = 1/2
cos 30 = √3/2
tg 30 = √3/3
ctg 30 = √3

sin 60 = √3/2
cos 60 = 1/2
tg 60 = √3
ctg 60 = √3/3

sin 45 = cos 45 = √2/2
tg 45 = ctg 45 = 1

Nem kell végülis bemagolni őket (én se azt tettem), hanem a 45 fokos egyenlőszárú derékszögű háromszögből, illetve a 30-60-90 fokos derékszögűből lehet kitalálni, mint ez az ábra mutatja:
http://livedoor.blogimg.jp/mxt336/imgs/1/f/1fa3194b.jpg

6)
Itt meg egyrészt fordítva kell rájönni a bemagolt (vagy az előző derékszögű háromszögekből kiszámolt) értékek alapján, hogy mihez tartoznak (pl. √3/2 a 60 fok szinusza), aztán az előjelekből kell rájönni, hogy melyik negyedben van, végül a ciklikusságot kell figyelembe venni.

Leírni hosszabb lesz, mint megcsinálni, úgyhogy ne ess kétségbe, csak figyelmesen olvasd végig

pl. az a) esetben:
Ha +√3/2 lenne, akkor 60 foknak lenne annyi a szinusza. Most magunk elé kell képzelni, vagy fel kell rajzolni az egységkört, valahogy így:
https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/reviewtriglogexp/gif/unit_circle.gif
ahol látod, hogy a szinuszt az y koordináta adja. Vagyis a 60 fokhoz tartozó y érték a √3/2. Aztán ki kell találni, hogy alul, a negatív y-oknál milyen szögnél lesz ugyanolyan hosszú a szakasz, szóval -√3/2.
Két eset lesz: egyrészt az x tengelyre vett tükörképe, vagyis -60 (úgy is mondhatjuk, hogy 360-60 vagyis 300), másrészt a 60 fokos szögszár ellenkező irányú folytatása, vagyis a 180°+60 = 240°.
Ez az ábra mutatja mindet:
https://www.mathsisfun.com/geometry/images/circle-unit-304560.gif

Szóval eddig annyit tudunk, hogy a 240 és 300 fokoknak -√3/2 a szinusza, tehát ez a kettő tuti megoldás. Viszont akárhányszor 360 fokot (teljes fordulatot) hozzáadva is ugyanott leszünk, tehát azok is megoldások:
α₁ = 240° + k·360°
α₂ = 300° + k·360°

A b) és c)-t is hasonlóan csináld meg.