Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Hatványos kifejezés kihozása gyökjel alól
noxter-norxert1704
kérdése
849
Szóval azt kéne kiszámolni, hogy 5-ös gyök alatt van az a szám, hogy 2 a -20.-on, ezt gondolom valahogyan ki lehet vinni a gyökjel alól, hiszen 2 az 5.-iken az négyszer is megvan, csak az a gond, hogy mínuszban van a hatvány, és emiatt most összezavarodtam, hogy mi is a helyzet.
Az alap kifejezés egyébként 5-ös gyök alatt a 32 a -4.-en volt, ebből csináltam 5-ös gyök alatt 2 a -20.-ont.
Az alap kifejezés egyébként 5-ös gyök alatt a 32 a -4.-en volt, ebből csináltam 5-ös gyök alatt 2 a -20.-ont.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
gyök, hatvány
gyök, hatvány
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
3
Rantnad
{ 
}
megoldása
Az a kérdés, hogy melyik számot kell 5-ször megszoroznod önmagával ahhoz, hogy 2-20-nt kapj.
Gondolom ismered a hatványozás azonosságait; ami nekünk kelleni fog első körben, az az
aⁿ/am=an-m, vagyis az azonos alapú hatványok hányadosa megegyezik a kitevők különbségére emelt alappal. Az a kérdés, hogy fel tudunk -e írni ez alapján egy olyan hányadost, amelynek minden értékét ki tudjuk számolni. A válasz az, hogy igen; 2-20 = 2⁰/2²⁰, 2⁰=1, ezért =1/2²⁰, így az a kérdés, hogy ⁵√ 1/2²⁰ értéke mennyi. Azt a számot keressük, amelyiket ha önmagával ötször megszorzod, akkor 1/2²⁰-nt kapsz eredménynek. Azt is tudjuk, hogy ha azonos alapú hatványokat összeszorzunk, akkor az eredmény a kitevők összegére emelt hatvány, másként: aⁿ*am=an+m, ez persze több tényező esetén is igaz. Ezek alapján nem nehéz rájönni, hogy 2²⁰=2⁴*2⁴*2⁴*2⁴*2⁴, így 1/2²⁰=1/2⁴*1/2⁴*1/2⁴*1/2⁴*1/2⁴, tehát a keresett szám az 1/2⁴=1/16.
Látható, hogy 20:5=4, ebből meg lehet sejteni (aztán bizonyítani), hogy 1 lépésben úgy kapjuk meg a végeredményt, hogy a kitevőt elosztjuk a gyökszámmal, és ez lesz az új kitevő, tehát:
⁵√ 2-20 =2-20/5=2-4=1/2⁴=1/16.
Gondolom ismered a hatványozás azonosságait; ami nekünk kelleni fog első körben, az az
aⁿ/am=an-m, vagyis az azonos alapú hatványok hányadosa megegyezik a kitevők különbségére emelt alappal. Az a kérdés, hogy fel tudunk -e írni ez alapján egy olyan hányadost, amelynek minden értékét ki tudjuk számolni. A válasz az, hogy igen; 2-20 = 2⁰/2²⁰, 2⁰=1, ezért =1/2²⁰, így az a kérdés, hogy ⁵√ 1/2²⁰ értéke mennyi. Azt a számot keressük, amelyiket ha önmagával ötször megszorzod, akkor 1/2²⁰-nt kapsz eredménynek. Azt is tudjuk, hogy ha azonos alapú hatványokat összeszorzunk, akkor az eredmény a kitevők összegére emelt hatvány, másként: aⁿ*am=an+m, ez persze több tényező esetén is igaz. Ezek alapján nem nehéz rájönni, hogy 2²⁰=2⁴*2⁴*2⁴*2⁴*2⁴, így 1/2²⁰=1/2⁴*1/2⁴*1/2⁴*1/2⁴*1/2⁴, tehát a keresett szám az 1/2⁴=1/16.
Látható, hogy 20:5=4, ebből meg lehet sejteni (aztán bizonyítani), hogy 1 lépésben úgy kapjuk meg a végeredményt, hogy a kitevőt elosztjuk a gyökszámmal, és ez lesz az új kitevő, tehát:
⁵√ 2-20 =2-20/5=2-4=1/2⁴=1/16.
1
- Még nem érkezett komment!
