A legegyszerűbb az az eset, amikor a definiált művelet kommutatív, de nem asszociatív.
Ilyen például a következő (Prefix írásmódban. Ugye tudod, hogy legalább hatféle írásmódot használnak.) két művelet `mu(u,v)=4+2*(u+v)+u*v` és `nu(u,v)=u^2+uv+v^2`, ahol `u,v in RR`
Kommutatívitás ellenőrzése: `mu(u,v)=4+2*(u+v)+u*v=4+2*(v+u)+v*u=mu(u,v)`
Az asszociatív tulajdonság ellenőrzése:
`mu(u, mu(v, w))=4+2*(u+(4+2*(v+w)+v*w))+u*(4+2*(v+w)+v*w)=4+2*u+8+4*v+4*w+2*v*w+`
`+4*u+2*u*v+2*u*w+u*v*w=12+6*u+4*v+4*w+2*u*v+2*u*w+2*v*w+u*v*w`.
`mu(mu(u, v), w))=4+2*((4+2*(u+v)+u*v)+w)+(4+2*(u+v)+u*v)*w=4+8+4*u+4*v+2*u*v+2*w+`
`+4*w+2*u*w+2*v*w+u*v*w=12+4*u+4*v+6*w+2*u*v+2*u*w+2*v*w+u*v*w`
A két műveletsor eredménye 8 tagú algebrai kifejezés, és azok második és negyedik tagjainál látható eltérés, tehát `mu(u, mu(v, w)) ne mu(mu(u, v), w))`, ha `u ne w`.
A második példánál a kommutatívitás ellenőrzése: `nu(u,v)=u^2+u*v+v^2=v^2+v*u+u^2=nu(v,u)`
A második példánál az asszociatív tulajdonság ellenőrzése:
`nu(u, nu(v, w))=u^2+u*(v^2+v*w+w^2)+(v^2+v*w+w^2)^2=u^2+u*v^2+u*v*w+u*w^2+`
`+v^4+v^2*w^2+w^4+2*(v^3*w+v^2*w^2+v*w^3)`.
`nu(nu(u, v), w))=(u^2+u*v+v^2)^2+(u^2+u*v+v^2)*w+w^2=u^4+u^2*v^2+v^4+`
`+2*(u^3*v+u^2*v^2+u*v^3)+u^2*w+u*v*w+v^2*w`. A két műveletsor eredménye 8 tagú algebrai kifejezés, de itt elegendő a nem vegyes negyedfokú tagokat megvizsgálni. Felfedezhető, hogy az egyikben `v^4+w^4`, míg a másikban `u^4+v^4` látható, tehát
`nu(u, nu(v, w)) ne nu(nu(u, v), w))`, ha `u ne w`.

Legyen ezek után `u, v in RR` eset n `tau(u, v)=v`. Belátjuk, hogy ez a művelet nem kommutatív, de asszociatív.
A harmadik példánál a kommutatívitás ellenőrzése: Mivel `tau(u,v)=v` és `tau(v,u)=u` így ebből azonnal következik, hogy `tau(u,v) ne tau(v,u)`, ha `u ne v`
A harmadik példánál a asszociatívitás ellenőrzése: `tau(u, tau(v, w))=w=tau(tau(u, v), w))`.

Legyen `u, v in RR` esetén `sigma(u, v)=u`. Belátjuk, hogy ez a művelet sem kommutatív, de asszociatív.
A negyedik példánál a kommutatívitás ellenőrzése: Mivel `sigma(u,v)=u` és `sigma(v,u)=v` így ebből azonnal következik, hogy `tau(u,v) ne tau(v,u)`, ha `u ne v`
A negyedik példánál a asszociatívitás ellenőrzése:
`sigma(u, sigma(v, w))=u=sigma(sigma(u, v), w))`.