Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Számelmélet

394
Itt is csak ellenorzeskeppen kellenenek a feladatok!
Koszonom szepen elore is!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
1. 2 osztója a 2-nek van, az 1 és a 2.
3 osztója a 4-nek van, az 1, a 2 és a 4.
6 osztója a 12-nek van, az 1, a 2, a 3, a 4, a 6 és a 12.

Az osztók száma általában a prímtényezős felosztásból derül ki; a prímtényezők hatványaihoz hozzáadunk 1-et, majd azokat összeszorozzuk, és az így kapott számmal megegyező számú osztója van, például:

2=2¹, 1+1=2, ez egy "egytagú szorzat", tehát a 2-nek 2 osztója van.
4=2², 2+1=3, ugyanúgy, mint az előbb, tehát 3 osztója van.
12=2²*3¹, 2+1=3, 1+1=2, 3*2=6, tehát 6 osztója van.

2. Egy szám akkor akkor és csak akkor osztható 18-cal, osztható 2-vel és 9-cel. 2-vel akkor osztható, hogyha az utolsó számjegy {0;2;4;6;8}, ezek a lehetséges értékei. Egy szám akkor osztható 9-cel, hogyha a szám számjegyeinek összege osztható 9-cel; 3+2+5+5+1+a=16+a, ez a={2;5;8} esetén lesz osztható 9-cel. Mindkét halmazban a 2 és a 8 szerepel, tehát ezek lesznek a keresett számjegyek.

3. Egy szám akkor osztható 15-tel, hogyha a szám osztható 3-mal és 5-tel. Egy szám akkor osztható 5-tel, hogyha az utolsó számjegy 0 vagy 5, tehát y lehetséges értékei 0 vagy 5. Egy szám akkor osztható 3-mal, hogyha a számjegyek összege osztható 3-mal;
-ha y=0, akkor a számjegyek összege 5+x+3+2+7+0=x+17, ezt x={1;4;7} esetén osztható 3-mal, tehát ha y=0, akkor x={1;4;7}.
-ha y=5, akkor a számjegyek összege 5+x+3+2+7+5=x+22, ezt x={2;5;8} esetén osztható 3-mal, tehát ha y=5, akkor x={2;5;8}.
4. Legnagyobb közös osztó: azt a számot keressük, amellyel mindkét szám osztható és a lehető legnagyobb, ez a prímtényezős felbontásból fog kiderülni:
1840=2⁴ * 5¹ * 23¹
3400=2³ * 5² * 17¹
A prímtényezős felbontásban a tényezők gyakorlatilag azt mutatják meg, hogy a szám melyik tényezővel hányszor osztható; az 1840 a 2-vel 4-szer, a 3400 a 2-vel 3-szor osztható. Mivel a legnagyobb olyan számot keressük, ami osztható mindkét számmal, ezért a 3 darab 2-esre lesz szükségünk; ha ennél több lenne, akkor olyan számunk lenne, amivel a 3400 nem osztható, ha ennél kevesebb, akkor pedig tudnánk mondani, hogy 2³ jobb választás. Ugyanez a helyzet az 5 esetén is. Mivel nincs több tényező, ami mindkettőben megtalálható, ezért tovább nem tudunk menni, így maradunk azoknál, amiket összeszedtünk, így kapjuk a 2³ * 5 = 40-et, tehát a két szám legnagyobb közös osztója a 40, amit így szokás jelölni: (1840;3400)=40.
A legkisebb közös többszörös is a fenti felbontásból fog kiderülni; azt a legkisebb pozitív számot keressük, amelyik mindkét számmal osztható; a 2³ miatt legalább 3-szor kell oszthatónak lennie 2-vel, a 2⁴ miatt legalább 4-szer, tehát a 2⁴ jó választás lesz nekünk, mivel ha ennél kevesebbet vennénk a 2-esekből, akkor nem lenne osztható 1840-nel a 2⁴ miatt, ha pedig ennél többet vennénk, akkor nem a legkisebb számot kapnánk. Ugyanezen gondolatmenet alapján kiválasztjuk a 5²-et, a 17-et és a 23-at, tehát a két szám legkisebb közös többszöröse: [1840;3400]=2⁴ * 5² * 17 * 23 =156.400.
Érdemes megjegyezni, hogy (a;b) * [a;b] = a*b, tehát a két szám legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének szorzata megegyezik a két szám szorzatával; ez azért van így, mert a legnagyobb közös osztóhoz és a legkisebb közös többszöröshöz is különböző tényezőket választottunk ki, viszont a két eljárással az összeset, és azokat összeszoroztuk, esetünkben:
( 2³ * 5¹ ) * ( 2⁴ * 5² * 17¹ * 23¹ ) = ( 2⁴ * 5¹ * 23¹ ) * ( 2³ * 5² * 17¹ ), látható, hogy mindegyik tényezőnek a másik oldalon megvan a párja.

A törtet egy lépésben tudjuk egyszerűsíteni a legnagyobb közös osztó tudatában; a számlálót és a nevezőt is osztjuk 40-nel, így kapjuk a 46/85 törtet. 46=2*23, 85=5*17, ezek között nincs közös tényező, így legnagyobb közös osztójuk az 1 lehet (a két szám relatív prím egymáshoz).

A törteket közös nevezőre kell hozni, a közös nevezőnek pedig a legkisebb közös többszörös pont jó lesz; az első törtet 46-tal, a másodikat 85-tel bővítjük, így kapjuk a 46/156.400 - 85/156.400 műveletet, ennek az eredménye -39/156.400. Mivel 39=3*13, és az 156.400 prímtényezős felbontásában sem a 3, sem a 13 nem szerepel, ezért ez így marad.

5a) Egy szám akkor osztható 5-tel, hogyha az utolsó számjegy 0 vagy 5. 11 pozitív egész hatványai mind 1-re végződnek, ez azért van így, mert szorzat utolsó számjegye mindig a tényezők utolsó számjegyinek szorzata, esetünkben 1*1=1, és mindig ez lesz. Ha ehhez hozzáadunk 4-et, akkor az utolsó számjegy 1+4=5 lesz, és ezt is akartuk, hogy legyen.

b) Egy szám akkor osztható 3-mal, hogyha a szám számjegyeinek összege osztható 3-mal. 10²⁰ valódi alakja 1 darab 1-esből és 20 darab 0-ból áll, ha ehhez hozzáadunk 2-őt, akkor 1 darab 1-esből, 19 darab 0-ból és 1 darab 2-esből fog állni, itt a számjegyek összege 3 lesz, ami osztható 3-mal, tehát az összeg is.

c) Egy szám akkor osztható 6-tal, hogyha osztható 2-vel és 3-mal. Az előzőek értelmbében a számunk így fok kinézni: 1(sok0)14, itt a számjegyek összege 6, ez osztható 3-mal, tehát a szám is osztható 3-mal. 2-vel is osztható, mivel 4-re végződik. Tehát a szám osztható 6-tal.

6. Egy szorzat akkor négyzetszám, hogyha a szorzatban lévő minden tényező kitevője osztható 2-vel, ehhez két hatványozás-azonosságot kell tudnunk:
(a*b)ⁿ=aⁿ*bⁿ, vagyis szorzat hatványozása esetén a szorzótényezők külön-külön hatványozhatóak
(aⁿ)k=an*k, tehát hatvány hatványozása esetén a kitevők szorzatára is emelhetjük az alapot.
Ebben az esetben is érdemes arra törekedni, hogy prímtényezők szorzataként álljon elő a szorzat;
4=2²
6=2*3
10=2*5
75=3*5²

Tehát a szorzatból ez lesz: 2⁵ * 3⁴ * (2²)² * (2*3)³ * 3*5²,
vagyis: 2⁵ * 3⁴ * 2⁴ * 2³ * 3³ * 3 * 5²

Szükségünk van még egy azonosságra: aⁿ * ak = an+k, vagyis azonos alapú hatványok szorzása esetén az alap a kitevők összegére emelhető, ez gyakorlatilag a hatványozás definíciójából adódik. Tehát a szorzat átírható ilyen alakra:

2¹² * 3⁸ * 5², itt tagonként használjuk a másodiknak említett azonosságot, csak visszafelé, így kapjuk a (2⁶)² * (3⁴)² * (5¹)² alakot, végül az elsőnek említett azonosságot, így lesz (2⁶ * 3⁴ * 5)² alakú a szorzat, ez pedig egy olyan alak, hogy valami², ez pedig a négyzetszámok alakja, tehát ez egy négyzetszám.

Az is megfigyelhető, hogy a 2¹² * 3⁸ * 5²-ben minden tag kitevője páros volt, tehát az előbbi megállapítás is igaz.

7a) Ha van köztük 2-es, akkor osztható, ha nincs, akkor nem osztható. Ez alól kivétel a 0, mivel neki nincs (egyértelmű) prímtényezős felbontása, viszont ő osztható 2-vel, mivel 0:2=0 és nincs maradék, valamint a 1, de róla sem nehéz eldönteni, hogy osztható-e vagy sem 2-vel (jobban meggondolva az 1 prímtényezős felosztása 2⁰ * 3⁰ * ..., de ezt az alakot nem szokás használni, viszont itt nincs 2-es a prímtényezők között).

b) 4-gyel akkor osztható, hogyha legalább 2 darab 2-es, tehát legalább 2² van benne, 8-cal akkor, hogyha 2³. Itt is igaz, hogy a 0 osztható mindkettővel, a 1 pedig nem.

c) Ezt már kibeszéltük; ha minden tényező kitevője páros, akkor négyzetszám, egyébként nem. Mivel 0=0*0, ezért a 0 is négyzetszám, és 1=1*1, ezért ő is.

8. Tehát azt a méterszámot keressük, amiben a 12 és a 75 is pontosan megvan, ezt a számot a legkisebb közös többszörösnek nevezzük. A két szám legkisebb közös többszöröse kis számok esetén úgy is kiszámolható, hogy felírjuk a nagyobb szám többszöröseit, majd megnézzük, hogy a kisebbik számmal osztható-e:
75, 75:12=6,25, nem jó
150, 150:12=12,5, nem jó
225, 225:12=18,75, nem jó
300, 380:12=25, ez lesz a jó.

Legrosszabb esetben ezt a metódust annyiszor kell eljátszani, amennyi a kisebb szám, mivel esetünkben a 12. osztás a 12*75 lenne, ez viszont biztosan osztható 12-vel. Tehát 300 méterenként lesznek egy vonalban a fák az oszlopokkal.

A legkisebb közös többszörös általános számítási módja szerint így számolunk:
12=2²*3
75=3*5², itt kiválasztjuk a fentebb tárgyalt gondolatmenet szerint a tagokat, így kapjuk a 2²*3*5²=300-at eredménynek.

9. A 12 és a 20 perccel foglalkozunk először; azt nézzük meg, hogy hányadik percben telik el pontosan valahányszor 12 és valahányszor 20 perc, itt is a legkisebb közös többszöröst keressük:
20:12 nem egész
40:12 nem egész
60:12=5, ez lesz a jó, tehát 60 percenként fognak egyszerre beérkezni a buszok a megállóba, 60 perc=1 óra, tehát 9 óra 20 perckor.

Számolva:
12=2²*3
20=2²*5, ebből a 2²*3*5=60-at kapjuk.
0