1493.

I. `a_2+a_8` = `(a_1+d)+(a_1+7d)` = `2a_1+8d` = 2

II. `a_9+a_3` = `(a_1+8d)+(a_1+2d)` = `2a_1+10d` = 24

II.-I.:

2d = 22

d = 11

I. : `2a_1+8*11` = 2

`2a_1` = -86

`a_1` = -43

`S_(10)` = `(a_1+a_(10))*10/2` = `(2a_1+9d)*5` = `(-86+9*11)*5` = 65


1494.

`a_1` = x `in` `ZZ+`

d = 1

`a_(11)` = `a_1+10*d` = x + 10

`S_(11)` = `(a_1+a_(11))*11/2` = `(x+(x+10))*11/2` = `(2x+10)/2*11` = `(x+5)*11`

Ha osztjuk 11-gyel, akkor x+5-öt kapunk és mivel `x in ZZ+`, ezért x+5 is `in ZZ+`.

`a_(12)` = x+11

`S_(12)` = `(a_1+a_(12))*12/2` = `(x+x+11)*12/2` = `(2x+11)/2*12` = `(x+5.5)*12`

Ha `x in ZZ+`, akkor `x notin ZZ+` (nem egész szám).


1495.

A páros indexű tagok is számtani szorozatot alkotnak és a hárommal oszható indexű tagok is.

`a_2` = `b_1` = `a_1+d`

`a_4` = `b_2` = `a_1+3d`

`a_6` = `b_3` = `a_1+5d`

.
.
.

`a_(60)` = `b_(30)` = `a_1+59d`


I. `S_(60p)` = `(b_1+b_(30))*30/2` = `((a_1+d)+(a_1+59d))*15` = 2760

`a_3` = `c_1` = `a_2+2d`

stb

`a_(60)` = `c_(20)` = `a_1+59d`

II. `S_(60.3)` = `(c_1+c_(20))*20/2` = `(a_1+2d)+(a_1+59d)*10` = 1870

I. `(2a_1+60d)*15=2760`

`2a_1+60d` = `2760/15` = 184

II. `(2a_1+61d)*10` = 1870

`2a_1+61d` = `1870/10` = 187

II. - I. :

d = 3

I. `2a_1+60*3` = 184

`2a_1` = 184-180 = 4

`a_1` = 2

`S_(60)` = `(a_1+a_(60))*60/2` = `(2+(2+59*3))*30` = 5430


1496.

Legyen a második tag x, az első tag x-d, a harmadik tag x+d.

A három tag összege:

`(x-d)+x+(x+d)` = 3x = -12

x = `-12/3` = -4

A három tag szorzata:

`(-4-d)*-4*(-4+d)` = `-4*(16-d^2)` = 80

`16-d^2=80/4=-20`

`d^2=36`

`d_1` = 6

`d_2` = -6

Ez a három tag tehát -10; -4 és 2.


1497.

`S_7` = `(a_1+a_7)*7/2` = `(2a_1+6d)*7/2` = `7a_1+21d` = 700

Osztod héttel

`a_1+3d` = 100 = `a_4`

A 100 tagja a sorozatnak.


1498.

`a_1` = `5/(root()(2)+1)`

`d=root()(2)`

`S_(20)` = `(2a_1+19d)*20/2` = `((2*5)/(root()(2)+1)+19*root()(2))*10` = `10*(root()(2)-1)+19*root()(2))*10` = `290*root()(2)-100`


1499,

Szorzatosoknál segít, ha a középső tagot választjuk alapnak és onnan indulunk el.

A sorozat 3. eleme x, akkor az első x-2d, a második x-d, a negyedik x+d, az ötödik x+2d.

Az összege: `S_5` = (x-2d)+(x-d)+x+(x+d)+(x+2d) = 5x = 65

x = `65/5` = 13

`(13-2d)(13-d)*13*(13+d)*(13+2d)` = `13*(13^2-d^2)(13-4d^2)` = 129168

`(169-d^2)(169-4d^2) = 9936`

`d^2=y`

(169-y)(169-4y) = 9936

`4y^2-845y+18625 = 0`

`y_1` = `745/4`, mivel így a sorozat nem lesz egész számokból álló, ezért

`y_2` = 25 = `d^2`

`d_1` = 5

`d_2` = -5

A keresett sorozat:

`a_1` = `x-2d` = `13-2*5` = 3 és

`d=5`

vagy

`a_1` = `x-2d` = `13+2*5` = 23 és

`d = -5`


1500.

`a_4` = 15

`a_1` = `a_4-3d`

`a_2` = `a_4-2d`

`a_3` = `a_4-d`

`a_5` = `a_4+d`

`a_6` = `a_4+2d`

`a_7` = `a_4+3d`

`S_7` = `a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7` =

= `(a_4-3d)+(a_4-2d)+(a_4-d)+a_4+(a_4+d)+(a_4+2d)+(a_4+3d)` = `7*a_4` =

= `7*15` = 105

Növekvő: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18

Csökkenő: 24, 21, 18, 15, 12, 9, 6.


1501.

A szám számjegyei: x, x+d, x+2d.

A szám értéke: 100x+10(x+d)+(x+2d) = 111x + 12d

A szám kétszerese: 222x+26d

A számjegyek összege: x+(x+d)+(x+2d) = 3x+3d

A felírható 1. egyenlet:

`2(111x+12d)/(3x+3d)` = 41

A százas és tizes helycsere után a szám értéke:

100(x+d)+10x+x+2d = 111x+102d

A 2. egyenlet:

(111x+102d)-(111x+12d) = 90d = 270

d = 3

1. egyenlet:

`2(111x+12*3)/(3x+9)` = 41

222x+72 = 123x+369

x = 3

A keresett szám tehát 369.


1502.

`a_1` = -190

`a_n` = `a_1+(n-1)*d` = `-190-(n-1)*d` = 202

`a_2` = -190+d

`a_(n-1)` = 202-d



`S_(n-2)` = `(a_2+a_(n-1))*(n-2)/2` = 36

`(-190+202)*(n-2)/2` = 36

n = `(36*2)/(12)+2` = 8

`a_8` = `a_1+7d` = -190+7d = 202

7d = 392

d = `392/7` = 56

A sorozat 8 tagja:

-192; -134; -78; -22; 34; 90; 146; 202.


1503.

`a_1` = 2 (ez most benne van e vagy sem)

d = 3

`a_n` = `a_1+(n-1)*d` = 2003

`2+(n-1)*3`=2003

3(n-1)=2001

n-1 = 667

n = 668

`S_n` = `(a_1+a_n)*n/2` = `(2+2003)*668/2` = 669 670

Ha a 2 nincs benne (majd eldöntöd), akkor kettővel kevesebb az összeg.


1504.

Az első n pozitív páros szám összege:

`a_1` = 2

d = 2

`a_n=2+(n-1)*2`

`S_n("ps")` = `(a_1+a_n)*n/2` = `(4+(n-1)*2)*n/2` = `(2+(n-1))*n`

Az első n pozitív páratlan szám összege:

`b_1` = 1

d=2

`b_n` = `1+(n-1)*2`

`S_n("pn")` = `(b_1+b_n)*n/2` = `(2+2*(n-1))*n/2` = (1+(n-1))*n

`(S_n("ps"))/(S_n("pn"))` = `((2+(n-1))*cancel(n))/((1+(n-1))*cancel()n)` = `(n+1)/n` = `101/100`

100(n+1) = 101n

100n+100 = 101n

n = 100