1546,

Induljunk a 4. tagtól.

`a_3` = `a_4/q`

`a_5` = `a_4*q`

`a_3*a_5` = `a_4/q*(a_4/q)` = `a_4^2` = 9


I. Ha `a_4` = 3, akkor: (jöhet a második rész)

`a_2+a_6` =`a_4*(1/q^2+q^2)` = -12,75`

`q^2` = x

`3*(1/x+x)` = -12.75`

`1/x+x` = `-12.75/3` = -4,25

Vagy megoldod másodfokúra, vagy látod, hogy egy szám és a reciprokának összege -4,25; akkor az egyik szám a -4, a másik a -0,25 (a reciproka).

x = `q^2` = nincs megoldás

II. Ha `a_4` = -3; akkor ugyanígy, csak akkor 4 és `1/4` jön ki.

x = `q^2` = 4

`q_1` = 2; akkor

`a_1` = `a_4/q^3` = `-3/2^3` = `-3/8`

`q_2` = -2; akkor

`a_1` = `a_4/q^3` = `-3/(-2)^3` = `3/8`

`q_3` = `1/2`; akkor

`a_1` = `a_4/q^3` = `-3/((1/2)^3)` = -24

`q_4` = `-1/2`; akkor

`a_1` = `a_4/q^3` = `-3/((-1/2)^3)` = 24

Négy megoldás van a valós számok halmazán.


1547.

Induljon a harmadik tagtól, aztán majdcsak kijön az első:

`a_3+a_4` = `a_3(1+q)` = 80

`a_5-a_3` = `a_3(q^2-1)` = `a_3(q+1)(q-1)` = 240

Ha `a_3` `ne` 0 és q `ne` -1; akkor eloszthatjuk a másodikat az elsővel:

`(cancel(a_3)*cancel(q+1)*(q-1))/(cancel(a_3)*cancel(q+1))` = `q-1` = `240/80` = 3

q = 4

Visszahelyettesítünk az elsőbe:

`a_3*(1+4)` = 80

`a_3` = 16 = `a_1*q^2` = `a_1*4^2`

`a_1` = `16/4^2` = 1

A sorozat: `a_1` = 1; q = 4.


1548,

`a_1` = 3

`a_n` = `a_1*q^(n-1)` = `3*q^(n-1)` = 729

`q^(n-1)` = `q^n/q` = `729/3` = 243

`S_n` = `a_1*(obrace(q^n)^(243q)-1)/(q-1)` = `3*(243q-1)/(q-1)` = 1092

`364(q-1)` = `243q-1`

364q-364 = 243q-1

121q = 363

q = 3

A keresett sorozat első 5 tagja: 3; 9; 27; 81; 243.


1549.

Meg lehet, a negyediket (középsőt):

`a_1*a_2*a_3_a_4*a_5*a_6*a_7` = `a_1*a_1*q*a_1*q^2*a_1*q^3*a_1*q^4*a_1*q^5*a_1*q^6` = `a_1^7*q^(1+2+3+4+5+6)` = `a_1^7*q^(21)` = 700

`a_1*q^3` = `a_4` = `root(7)(a_1^7*q^(7*3))` = `root(7)(700)`


1550,

I. `a_1+a_2+a_3` = `a_1*(1+q+q^2)` = 105

II. `a_2-a_1` = `a_1*(q-1)` = 15

I. : II. :

`(cancel(a_1)*(q^2+q+1))/(cancel(a_1)*(q-1))` = `105/15` = 7

`7(q-1)=q^2+q+1`

`q^2-6q+8=0`

(q-2)(q-4) = 0

- Ha `q_1` = 2; akkor

II: `a_1*(2-1)` = `a_1` = 15

- Ha `q_2` = 4; akkor

II. `a_1*(4-1)` = `3a_1` = 15 `rightarrow` `a_1` = 5

A keresett sorozat:

15; 30; 60

vagy

5; 20; 80.


1551,

A 6.7.8. tag körül kell forogni:

`a_6+a_7` = `a_6(1+q)` = 96

`a_8-a_6` = `a_6(q^2-1)` = `a_6(1+q)(q-1)` = 96

`(a_8-a_6)/(a_6+a_7)` = `(cancel(a_6)*cancel(1+q)*(q-1))/(cancel(a_6)*cancel(1+q))` = `96/96` = q-1 = 1

q = 2

`a_6+a_7` = `a_1*(q^5+q^6)` = `a_1*(2^5+2^6)` = `a_1*(32+64)` = `a_1*96` = 96

`a_1` = 1

`S_n` = `a_1*(q^n-1)/(q-1)` = `1*(2^n-1)/(2-1)` = `2^n-1` = 1023

`2^n` = 1024 = `2^(10)`

n = 10

Ha nem megy fejből, akkor logaritmus:

n = `(lg1024)/(lg2)` = 10


1552,

`a_1` = 3

`q=3`

`S_(50)` = `a_1*(q^n-1)/(q-1)` = `3*(3^50-1)/(3-1)` = `3/2*(3^(50)-1)` `approx` `1.08*10^(24)`

A szorzat:

A mértani sorozatok szorzatánál a kitevőkből lesznek számtani sorozatok:

`X_(50)` = `a_1*a_2*...a_(49)*a_(50)` = `a_1*(a_1*q)*...*(a_1*q^(48))*(a_1*q^(49))` = `a_1^(50)*q^(1+2+...+48+49)` = `a_1^(50)*q^((1+49)*49/2)` = `a_1^(50)*q^(1225)` = `3^(50)*3^(1225)` = `3^(1275)` `approx` `2.136*10^(608)`


1553,

1 hajtással 2 réteg, 2 hajtással 4 réteg

`a_1` = 2

q = 2

a, 8 hajtással `2^8` = 256 réteg lesz.

b, 64 réteg az `2^6` réteg, tehát 6 hajtással lesz.


1554,


`a_1` = b = 4 cm

`a_2` = a = 4q cm

`a_3` = `a_m` = `4q^2` cm

`(a/2)^2+a_m^2=b^2`

`(2q)^2+(4q^2)^2=4^2`

`4q^2+16q^4=16` /:4

`q^2+4q^4=4`

`q^2=x`

`4x^2+x-4=0`

`x_(1,2)` = `(-1pmroot()(1+64))/8` = `q^2`

csak a pozitív gyök kell a négyzetreemelés miatt.

`q^2` = `(-1pmroot()(65))/8` `approx` 0,88

`q_1` = -0,94 nem lehet, mert negatív nem lehet a háromszög oldala.

`q_2` = 0,94 `(root()(root()(65-1))/8)`

b = 4 cm

a = `b*q` = `4*0.94` = 3,76 cm

`m_a` = `b*q^2` = `4*0.94^2` = 3,53 cm


1555,

`a_1+a_2` `gt` `a_3`

`a_1(1+q)` `gt` `a_1*q^2` /:`a_1`

`1+q` `gt` `q^2`

`q^2-q-1` `gt` 0

Az biztos, hogy 0-nál nagyobbnak kell lennie, de kisebbnek, mint `(1+root()(5))/2` `approx` 1,618. Az 1,7-es hányados tehát nem jó.

`0 lt q lt (1+root()(5))/2`


1556,

`a_1` = a = 64 cm

`a_2` = b = 64q cm

`a_3` = c = `64q^2` cm

K = `64*(1+q+q^2)` = 244 cm

`1+q+q^2` = 3,8125

`q^2+q-2.8125 = 0`

q = 1,25

b = `64*1.25` = 80 cm

c = `80*1.25` = 100 cm

A legnagyobb szög a leghosszabb oldallal szemközt van:

`c^2=a^2+b^2-2ab cos gamma`

`cos gamma` = `(c^2-(a^2+b^2))/(2ab)` = `(100^2-80^2-64^2)/(2*64*80)` = -0,0484375

`gamma` = 92,78°



1557.

A harmadik oldal hossza:


`c^2=a^2+b^2-2ab cos gamma` = `80^2+100^2-2*80*100*cos 120` = 156,2 cm

Már ránézésre sem sorozat, de leellenőrizhetjük, a két oldal hosszának hányados egyenlő kell, hogy legyen:

`q=c/b=b/a`

`156.2/100` = 1.56

`100/80` = 1.25

A háromszög oldalainak hosszai nem alkotnak mértani sorozatot.