Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Definitség

628
Hogy lehet azt bebizonyítani, hogy egy pozitív definit mátrix minden sajátértéke pozitív? (Gondolom ez alapján be lehet bizonyítani a többi definitségre is a megfelelő előjelű sajátértékekkel!)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
definitség, mátrix, pozitív, szemidefinit, sajátérték, vizsgálat, negatív, kvadratikus, alak, szimmetrikus
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
Ez szimmetrikus mátrixokra igaz csak. A szimmetrikus mátrixok sajátértékei és sajátvektorai valósak, és ez kell a bizonyításhoz.
Az A mátrix pozitív definit, vagyis minden nem 0 vektorra igaz ez:
vT·A·v > 0
Legyen v bármelyik sajátvektor, vagyis A·v = λ·v. Ezért:
vT·A·v = vT·λ·v
Na most vT·v = Σ ai², tehát valós számok négyzeteinek az összege, pozitív. Így a szorzat előjele megegyezik λ előjelével.
1