Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Definitség
kapesmate
kérdése
1364
Hogy lehet azt bebizonyítani, hogy egy pozitív definit mátrix minden sajátértéke pozitív? (Gondolom ez alapján be lehet bizonyítani a többi definitségre is a megfelelő előjelű sajátértékekkel!)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
mátrix, szimmetrikus, negatív, pozitív, sajátérték, definitség, szemidefinit, vizsgálat, kvadratikus, alak
mátrix, szimmetrikus, negatív, pozitív, sajátérték, definitség, szemidefinit, vizsgálat, kvadratikus, alak
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Ez szimmetrikus mátrixokra igaz csak. A szimmetrikus mátrixok sajátértékei és sajátvektorai valósak, és ez kell a bizonyításhoz.
Az A mátrix pozitív definit, vagyis minden nem 0 vektorra igaz ez:
vT·A·v > 0
Legyen v bármelyik sajátvektor, vagyis A·v = λ·v. Ezért:
vT·A·v = vT·λ·v
Na most vT·v = Σ ai², tehát valós számok négyzeteinek az összege, pozitív. Így a szorzat előjele megegyezik λ előjelével.
Az A mátrix pozitív definit, vagyis minden nem 0 vektorra igaz ez:
vT·A·v > 0
Legyen v bármelyik sajátvektor, vagyis A·v = λ·v. Ezért:
vT·A·v = vT·λ·v
Na most vT·v = Σ ai², tehát valós számok négyzeteinek az összege, pozitív. Így a szorzat előjele megegyezik λ előjelével.
1
- Még nem érkezett komment!