Jelölés vagy osztás?

A dy/dx jelölés Leibniztől származik. Az, hogy ez egy osztás lenne, azt a "The History of the Calculus and its Conceptual Development" című könyv (írója Carl Boyer) úgy magyarázza, hogy abban az időben hatott a matematikusokra az atom elmélete, úgy gondolták, hogy a Δx és Δy-nak is, miközben egyre kisebb értékeket vesz fel, van valamilyen tovább nem osztható része. Ezek az "atomok" lesznek a dx és dy mennyiségek, amik mivel nem nullák, el lehet őket osztani egymással, hányadosuk pedig a derivált.

Ezt már a 18. században kritizálták, valószínű onnan ered, oda nyúlik vissza a mai kritika is, csak mára elfelejtődött az, hogy ebben az elméletben az "atom"-ságot kritizálták.

Olyan 100 évvel később Cauchy elméletileg teljesen más irányból közelítette meg a deriválás problémáját, ő a differenciál fogalmát definiálta ilyen módon:
dy = f'(x)·dx
Itt dy és dx egyszerűen új változók az y és x mellett, nem pedig infinitizimális mennyiségek, simán lehet velük számolni, mint a többi változóval. Lehet persze őket osztani is, és abból pont ez lesz:
dy/dx = f'(x)
Mellesleg ezt differenciál-hányadosnak szokás nevezni, szóval hányados.

Megjegyzés: a deriválást szokták úgy is írni, hogy d/dx y, ez még inkább azt próbálja mutatni, hogy a d/dx az egy "operátor", ami az y vagyis f(x) függvényre hat, nem pedig hányados. Cauchy szellemében viszont simán vehetjük hányadosnak is...

A megjegyzésben ezt kérdezed:
"És akkor mondjuk a láncszabálynál is nyugodtan nézhetem osztásnak?...mármint ha u=f(x) és x=g(t) akkor du/dt=(du/dx)*(dx/dt)...itt is nyugodtan egyszerűsíthetek dx-szel és azért jön ki a du/dt? "

Itt még felfogható így, de mondjuk a második deriváltnál már nem lehet formálisan csinálni:
du/dt = du/dx · dx/dt
d²u/dt² = d/dt (du/dt) = ...
helyettesítsük be a fentit:
= d/dt (du/dx · dx/dt) = ...
Na most hová tegyük a d-t és hová a dt-t? Nem lesz jó sehogy se, mondjuk ez sem jó:
≠ du/dx · d²x/dt²
Hanem ez a valóság:
= d²u/dx² · (dx/dt)² + du/dx · d²x/dt²