`x^4-3x^3+3x+1` = 0

Gondolom nem kell hozzá negyedfokú egyenlet megoldóképlet...

Hát én felbontanám valami ilyesmire (aztán vagy bejön, vagy nem):

`(x^2-ax-1)(x^2-bx-1)` = `x^4-bx^3-x^2-ax^3+abx^2+ax-x^2+bx+1` = `x^4-(a+b)x^3+(ab-2)x^2+(a+b)x+1`

a+b = 3 `rightarrow` `b = 3-a`

ab-2 = 0

a(3-a)-2=0

`a^2-3a+2=0`

`a_(1,2)` = `(3pmroot()(3^2-4*2*1))/2` = `(3pmroot()(1))/2`

`a_1` = 2 `rightarrow` `b_1` = 3-2 = 1

`a_2` = 1 `rightarrow` `b_2` = 3-1 = 2

Innen már csak két másodfokú egyenletet kell megoldani.

`(x^2-2x-1)(x^2-x-1)` = 0

Szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

I. `x^2-2x-1=0`

`x_(1,2)` = `(2pmroot()(2^2+4*1*1))/2` = `(2pmroot()(8))/2` = `(1pmroot()(2))`

`x_1=1+root()(2)` `approx` 2,414

`x_2=1-root()(2)` `approx` -0,414

II. `x^2-x-1=0`

`x(3,4)` = `(1pmroot()(1^2+4*1*1))/2` = `(1pmroot()(5))/2`

`x_3` = `(1+root()(5))/2` `approx` 1,618

`x_4` = `(1-root()(5))/2` `approx` -0,618

Ábra

Szia,

szeretnék mutatni egy másik megoldást, ami nem olyan elegáns, mint kazahé, inkább az a favágó módszer féleség, akkor lehet hasznos ha nincs más ötleted vagy sok időd van a feladatra.

szóval ez egy hiányos negyedfokú kifejezés, ezért kiegészíteném: `x^4-3x^3+0x^2+3x+1`, most egy kis kitekintés, hogy mit is fogok csinálni, szóval minden ilyen kifejezés felírható szorzatként, ahogy ez is, és ahogy kazah is ezt csinálta én is ezt fogom, csak mivel ez egy negyed fokú kifejezés, ezért négy darab x-szel:

`(x-A)(x-B)(x-C)(x-D)`

most megnézzük, hogy az egyes együtthatók hogyan jönnek ki, amikor összeszoroznánk őket, tehát az `x^4` együtthatója egyféle képpen jöhet ki, ha összeszorozzuk a négy darab x-et

az x a harmadikon együtthatója ugye négy féleképpen jön ki, ha összeszorzunk 3 darab x-et és vesszük mellé az egyik konstanst, vagyis az egyik betűt, tehát az x a harmadikon együtthatója -3, így felírhatjuk, hogy: `-A-B-C-D=-3` (igazából ez az alapötlet mindegyik együtthatónál ezt fogjuk megcsinálni)

az `x^2` együtthatója, ugye nulla ez úgy jön ki, hogy kettő x-et összeszorzunk, majd kettő betűt is mellé, azaz felírható, hogy:
`CD+AD+AB+BC+CA+DB=0` ezeknek a lehetőségét, hogy megtaláltad-e mind egy gyors 4 alatt a 2 vel ki tudod számolni (ami amúgy hat lehetőség) hiszen 4 zárójelből választasz kettő betűt

az x együtthatójais 3, szóval az előbb leírtak alapján: `-BCD-ACD-ABD-ABC=3`

a sima konstans 1 pedig: `ABCD=1`

ezzel kaptunk egy négy ismeretlenes egyenletrendszert:

`ABCD=1`
`-A-B-C-D=-3`
`CD+AD+AB+BC+CA+DB=0`
`-BCD-ACD-ABD-ABC=3`

ezt megoldva ugye egyből meg is kapod a megoldásokat is, szóval ez volna az.
Tudom, hogy nem szép és egy ötöd fokúnál nem biztos, hogy van kedve az embernek végigcsinálni, de azért megmutattam, hátha egyszer jó lesz valamire.

Szeretném magam javítani, kazah rávilágított arra, hogy az egyenletrendszerrel szintén negyedfokú egyenletet kapunk, úgyhogy ezt a megoldást nyugodtan ignoráld, de azért kint hagyom, mert később tényleg hasznos is lehet, a módszer része.


Esetleg kérdésed van, szívesen válaszolok!