Hogyha a valós számok halmazán akarjuk megoldani az egyenletet, akkor azt kell tudnunk, hogy két komplex szám akkor egyenlő, hogyha valós és imaginárius részeik egyenlőek. A bal oldal valós része x²+3xy+2, a jobb oldalé -y², ezért ezek a fentiek értelmében egyenlőek:

x²+3xy+2=-y²

A bal oldal imaginárius része 4, a jobbé xy+y², tehát:

4=xy+y²

Értelemszerűen ennek a két egyenletnek egyszerre kell teljesülnie, ezért ezeket egyenletrendszerbe foglalhatjuk:

x²+3xy+2=-y² }
4=xy+y² }

A második egyenletből egyszerűbb elindulni; rendezés után (4-y²)/y=x-et kapjuk (y értelemszerűen nem lehet 0), ezt beírjuk az első egyenletben x helyére:

((4-y²)/y)²+3((4-y²)/y)*y+2=-y²,ebből egy szép másodfokúra visszavezethető egyenletet fogunk kapni.

Ha komplexen akarjuk megoldani, akkor az csak úgy mehet, hogy x értékét y, valamint y értékét x függvényében adjuk meg (például úgy, hogy paraméteres másodfokú egyenletként kezeljük az egyenletet).

Nem gondoltam, hogy nehézséget fog okozni, de legyen;

((4-y²)/y)² + 3((4-y²)/y)*y + 2 = -y², először is kibontjuk a zárójeleket:

(4-y²)²/y² + 12-3y² + 2 = -y², majd újra, viszont itt NEM TAGONKÉNT!!! bontjuk ki, hanem az (a-b)²=a²-2ab+b² azonosság alapján:

(16-8y²+(y²)²)/y² + 12-3y² + 2 = -y², látható, hogy mindenhol y² van, ezért a jobb áttekinthetőség kedvéért legyen y²=t, tehát:

(16-8+t²)/t + 12-3t + 2 = -t, szorzunk t-vel:

16-8t+t² + 12t-3t² + 2t = -t², összevonunk és redukáljuk a jobb oldalt 0-ra:

-t² + 6t + 16 = 0, esetleg lehet szorozni (-1)-gyel:

t² - 6t - 16 = 0, ezt az egyenletet már meg tudjuk oldani, erre a t=8 és t=-2 megoldásokat kapjuk. Mivel t=y² volt, ezért:

y²=8, vagyis y=±√8, ami átírható y=±2*√2 alakra
y²=-2, ennek pedig nincs valós megoldása, pedig kikötöttük, hogy y valós, tehát ezzel nem tudunk mit kezdeni.

Ha ez megvan, akkor x értékét is megkapjuk;

ha y=√8 → x=(4-√8²)/√8=-4/√8=-√ 16 /√8=-√ 16/8 =-√2
ha y=-√8 → x=(4-(-√8)²)/-(√8)=4/√8=√ 16 /√8=√ 16/8 =√2

Tehát az egyenlet valós megoldásai: (x;y)={(-√2;√8) ; (√2;-√8)}