Hát nem kis feladat lenne itt kombinatorikai elméletet és példákat leírni, de ilyeneknek nézz utána:

Permutáció; kombináció, variáció; illetve ezeken belül ismétléses és ismétlés nélküli. (Talán az ismétléses kombináció már nem érettségi feladat).

Továbbá érdemes tisztában lenni a faktoriálissal:

`n!` = `1*2*3*....*(n-1)*n`

Pl: 4! = `4*3*2*1`

Egy példával nehéz lenne elmagyarázni, írok ötöt:

Permutáció:

- Ismétlés nélküli:

Példa: Van öt ember és öt szék sorban, hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé?

Megoldás: Első helyre leülhet 5 közül bárki, a második helyre már csak 4 (mert 1 már leült), és így tovább, harmadikra három, negyedikre kettő, ötödikre egy.

`P_5` = `5*4*3*2*1` = `5!` = 120

Általánosan az ismétlés nélküli permutáció:

`P_n` = `n!`

- Ismétléses permutáció:

Példa: Hányféleképpen lehet kiosztani 6 ember között 3 almát, 2 körtét és 1 barackot?

Megoldás: Ha az előző elven követnénk a megoldás menetét, akkor 6! lenne a megoldás, de az almákat nem különböztetjük meg, tehát ha pl az 1. számú ember az 1. számú vagy a 2. számú almát kapja, az ugyanaz az esemény. Ezt is figyelembe kell vennünk, ezekkel az eseményekkel el kell osztanunk:

`P_6^(3,2,1)` = `(6!)/(3!*2!*1!)` = `(6*5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)*1)` = 60-féleképpen lehet kiosztani.


Variációk:

Az ismétléses az egyszerűbb, pl a totószelvény kitöltése:

Hány totószelvényt kellene kitöltenünk, hogy biztosan legyen telitalálatunk.

13+1 sor van (gondolom még most is), és három lehetőség mindegyikre (1, 2, x). Az első sorba háromfélét jelölhetünk, a másodikba is hármat, mindegyikbe hármat.

A variáció:

`V_(14)^3` = `3^14` = 4782969 db totót kellene kitöltenünk a tuti telitalálathoz.

- Az ismétlés nélküli variációnál egy elem csak egyszer választható ki.

Példa: 10 versenyző indult egy versenyen, hányféle dobogós helyezés lehetséges?

Megoldás: Az első helyre kerülhet 10 közül valaki, a második helyre már csak 9 (az elsőn már van 1), a harmadikra pedig 8 közül valaki.

`V_(10)^3` = `10*9*8` = 720

Ezt általános képlettel így tudjuk leírni:

`V_n^k` = `(n!)/((n-k)!)`

`V_(10)^3` = `(10!)/((10-3)!)` = `(10*9*8*cancel(7*6*5*4*3*2*1))/(cancel(7*6*5*4*3*2*1)` = `10*9*8` = 720


A kombinációkból csak az ismétlés nélkülit mutatom:

Példa: Lottószelvény kitöltése: Mennyit kellene kitöltenünk ahhoz, hogy biztosan legyen ötösünk (a 90/5-ös lottóra gondolok).

Megoldás:

Először 90 közül választhatunk, másodjára már csak 89-ből, stb, tehát ez `90*89*88*87*86` lenne abban az esetben, ha az X-eket, amikkel a számokat húzzuk át, megkülönböztetnénk, azonban ezek az X-ek egyformák, ezeknek az X-eknek a lehetséges sorrendjével el kell osztanunk, ami 5!.

A kombinációra be van vezetve egy új jelölés, az n alatt a k; így jelöljük: `((n),(k))`

`C_n^k` = `((n),(k))` = `(n!)/((k!)*(n-k)!)`

Az ötöslottó esetén:

`C_(90)^5` = `((90),(5))` = `(90!)/((85!)*(5!))` = `(90*89*88*87*86*cancel(85!))/(cancel(85!)*5!)` = `(90*89*88*87*86)/120` = 43 949 268 db lottót kéne kitölteni.

A kombinációnál még azon el lehet gondolkodni, hogy mire van nagyobb esély, ha a 90-ből ötöt eltalálni, vagy 90-ből 85-öt?

(ugyanannyi, érdemes megnézni a képletet).


Mindez csak akkor igaz, ha a halmazok elemeinek sorbarendezése a kombinatorikára vonatkozik.

Dióhéjban ennyi, hagyjunk egy kicsit a tanároknak is