Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Adott halmaz elemeinek sorba rendezése

69
Előre fel szeretnék készülni matekból és ezt fogjuk venni. Fogalmam sincs mi ez, példáim sincsenek. Lehetséges lenne, hogy valaki ír egy saját példát és megoldja? (Elmagyarázva hogy oldotta meg)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, halmazok
0
Általános iskola / Matematika

Válaszok

1
Hát nem kis feladat lenne itt kombinatorikai elméletet és példákat leírni, de ilyeneknek nézz utána:

Permutáció; kombináció, variáció; illetve ezeken belül ismétléses és ismétlés nélküli. (Talán az ismétléses kombináció már nem érettségi feladat).

Továbbá érdemes tisztában lenni a faktoriálissal:

`n!` = `1*2*3*....*(n-1)*n`

Pl: 4! = `4*3*2*1`

Egy példával nehéz lenne elmagyarázni, írok ötöt:

Permutáció:

- Ismétlés nélküli:

Példa: Van öt ember és öt szék sorban, hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé?

Megoldás: Első helyre leülhet 5 közül bárki, a második helyre már csak 4 (mert 1 már leült), és így tovább, harmadikra három, negyedikre kettő, ötödikre egy.

`P_5` = `5*4*3*2*1` = `5!` = 120

Általánosan az ismétlés nélküli permutáció:

`P_n` = `n!`

- Ismétléses permutáció:

Példa: Hányféleképpen lehet kiosztani 6 ember között 3 almát, 2 körtét és 1 barackot?

Megoldás: Ha az előző elven követnénk a megoldás menetét, akkor 6! lenne a megoldás, de az almákat nem különböztetjük meg, tehát ha pl az 1. számú ember az 1. számú vagy a 2. számú almát kapja, az ugyanaz az esemény. Ezt is figyelembe kell vennünk, ezekkel az eseményekkel el kell osztanunk:

`P_6^(3,2,1)` = `(6!)/(3!*2!*1!)` = `(6*5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)*1)` = 60-féleképpen lehet kiosztani.


Variációk:

Az ismétléses az egyszerűbb, pl a totószelvény kitöltése:

Hány totószelvényt kellene kitöltenünk, hogy biztosan legyen telitalálatunk.

13+1 sor van (gondolom még most is), és három lehetőség mindegyikre (1, 2, x). Az első sorba háromfélét jelölhetünk, a másodikba is hármat, mindegyikbe hármat.

A variáció:

`V_(14)^3` = `3^14` = 4782969 db totót kellene kitöltenünk a tuti telitalálathoz.

- Az ismétlés nélküli variációnál egy elem csak egyszer választható ki.

Példa: 10 versenyző indult egy versenyen, hányféle dobogós helyezés lehetséges?

Megoldás: Az első helyre kerülhet 10 közül valaki, a második helyre már csak 9 (az elsőn már van 1), a harmadikra pedig 8 közül valaki.

`V_(10)^3` = `10*9*8` = 720

Ezt általános képlettel így tudjuk leírni:

`V_n^k` = `(n!)/((n-k)!)`

`V_(10)^3` = `(10!)/((10-3)!)` = `(10*9*8*cancel(7*6*5*4*3*2*1))/(cancel(7*6*5*4*3*2*1)` = `10*9*8` = 720


A kombinációkból csak az ismétlés nélkülit mutatom:

Példa: Lottószelvény kitöltése: Mennyit kellene kitöltenünk ahhoz, hogy biztosan legyen ötösünk (a 90/5-ös lottóra gondolok).

Megoldás:

Először 90 közül választhatunk, másodjára már csak 89-ből, stb, tehát ez `90*89*88*87*86` lenne abban az esetben, ha az X-eket, amikkel a számokat húzzuk át, megkülönböztetnénk, azonban ezek az X-ek egyformák, ezeknek az X-eknek a lehetséges sorrendjével el kell osztanunk, ami 5!.

A kombinációra be van vezetve egy új jelölés, az n alatt a k; így jelöljük: `((n),(k))`

`C_n^k` = `((n),(k))` = `(n!)/((k!)*(n-k)!)`

Az ötöslottó esetén:

`C_(90)^5` = `((90),(5))` = `(90!)/((85!)*(5!))` = `(90*89*88*87*86*cancel(85!))/(cancel(85!)*5!)` = `(90*89*88*87*86)/120` = 43 949 268 db lottót kéne kitölteni.

A kombinációnál még azon el lehet gondolkodni, hogy mire van nagyobb esély, ha a 90-ből ötöt eltalálni, vagy 90-ből 85-öt?

(ugyanannyi, érdemes megnézni a képletet).


Mindez csak akkor igaz, ha a halmazok elemeinek sorbarendezése a kombinatorikára vonatkozik.

Dióhéjban ennyi, hagyjunk egy kicsit a tanároknak is
4