1,

I. `a_5` = 21 = `a_1+4d`

II. `a_6` = 33 = `a_1+5d`

II. - I. :

`(a_1+5d)-(a_1+4d)` = d = 33-21 = 12

I. `a_1+4*12=21`

`a_1` = `21-48` = -27

`S_6` = `(a_1+a_6)*6/2` = `(-48+33)*3` = -45

2,

A számjegyek összege osztható legyen 9-cel:

3+x+0+4 = 7+x = 9

x = 2

3,

A másik két oldalt a szinusztétel segítségével számolhatjuk ki:

a = 10 cm

`beta` = 60°

`gamma` = 40°

`alpha` = `180-(beta+gamma)` = `180-(60+40)` = 80°

`sinalpha/a` = `sinbeta/b`

b = `(sinbeta*a)/sinalpha` = `(sin60*10)/(sin80)` = 8,794 cm

T = `(a*b*singamma)/2` = `(10*8.794*sin40)/2` = 28,26 `cm^2`

4,

c = `root()(a^2+b^2)` = `root()(5^2+12^2)` = `root()(169)` = 13 cm

T = `(a*b)/2` = `(c*m_c)/2`

`m_c` = `(a*b)/c` = `(5*12)/13` = 4,615 cm

5,

Volt n csapat. n csapat n-1 csapattal játszik, az n(n-1) mérkózés, de oda-vissza nem játszanak, csak oda, szóval ezt még osztjuk kettővel. A felírható egyenlet:

78 = `(n(n-1))/2` /*2

156= n(n-1) = `n^2-n`

`n^2-n-156` = 0

`n_(1,2)` = `(1pm root()(1+4*156))/2` = `(1 pm 25)/2`

A negatív csapatszám nem jöhet szóba.

n = `(1+25)/2` = 13

13 csapat vett részt a tornán.

6,

Az első helyen 6 agár futhat be, a másodikon öt, a harmadikon négy. Ez összesen `6*5*4` = 120-féleképpen alakulhat a dobogós hely.

7,

Az y = mx +b általános egyenes egyenletbe behelyettesítjük a koordinátákat.

I. `-1 = 1*m+b`

II. `-2=4*m+b`

II. - I. :

-1 = 3m

m = `-1/3`

I. `-1=1*-1/3+b`

b = `-2/3`

A keresett egyenes egyenlete:

y = `-1/3*x-2/3`

8,

`a_1` = 2

d = 7

100 `lt` `a_x lt 200`

100 `lt` `a_1+(x-1)*d` `lt` 200

100 `lt` `2+(x-1)*7` `lt` 200

98 `lt` `(x-1)*7` `ge` 198

14 `lt` x-1 `lt` 28,28

15 `lt` x `lt` 29,28

29,28-15 = 14,28

14 tag van a két szám között.

9,

K = 4a = `4*8` = 32 cm

T = `a^2*sinalpha` = `8^2*sin30` = 32 `cm^2`

10,

A szabályos sokszög átlóinak száma (n oldal esetén):

`(n(n-3))/2` = `(16*(16-3))/2` = 104 az átlók száma.

A belső szögek nagysága:

`((n-2)*180)/n` = `((16-2)*180)/16` = 157,5° egy belső szöge.

A külső szöge: 180-157,5 = 22,5°.

11,

A 120°-os szöghoz tartoró ív hossza:

iv = `K_("kör")*120/360` = `(2*r*pi)*120/360` = `(2*4*3.14)/3` = 8,38 cm

`K_("körcikk")` = 2r + ív = 8+8,38 = 16,38 cm

`T_("körcikk")` = `T_("kör")*120/360` = `(r^2*pi)/3` = `(4^2*3.14)/3` = 16,76 `cm^2`

12,

a = 8 cm `rightarrow` `a/2` = 4 cm

`beta` = 75°

`cosbeta` = `(a/2)/b`

b = `(a/2)/(cosbeta)` = `4/(cos75)` = 15,45 cm

`tanbeta` = `m_a/(a/2)`

`m_a` = `(a/2)*(tanbeta)` = `4*(tan75)` = 14,93 cm

K = a + 2b = `8+2*15.45` = 38,9 cm

T = `(a*m_a)/2` = `(8*14.93)/2` = 59,72 `cm^2`

T = `(a*b*c)/(4*r)`

r = `(a*b*c)/(4*T)` = `(8*15.45^2)/(4*59,72)` = 8 cm

13,

A normálvektor meredeksége: `m_n` = `n_y/n_x` = `2/5`

Az irányvektor meredeksége (ami már az egyenesé is lesz): `m=-1/m_n` = `-5/2`

Az egyenes egyenletét a P pont behelyettesítésével kapjuk meg:

y = mx + b

-4 = `-5/2*1+b`

b = `5/2-4` = `-3/2`

Az egyenes egyenlete tehát:

y = `-5/2*x-3/2`

A `Q_x`-t visszahelyettesítve az egyenes egyenletébe:

y = `-5/2*-2-3/2` = `7/2` = `Q_y`


14,

Legyen az egyik szám 8x, a másik 5x. A felírható egyenlet:

8x-5x = 3x = 90

x = 30

Az egyik szám: 8x = `8*30` = 240

A másik szám: 5x = `5*30` = 150