Hello!

Jeloljuk x-el a keresendo szamot, tehat, hogy mennyien voltak.

Azt tudjuk, hogy ha mindenki mindenkivel kezet fog, akkor az x*(x-1), de mivel minden kezfogashoz 2 ember kell ezert ezt osztani kell 2-vel is, tehat:

x*(x-1)/2=105 (x-szer zarojelben x minusz 1 zarojel bezarva ez az egesz per 2 egyenlo 105)

Oldjuk meg az egyenletet:

x*(x-1)/2=105 (szorozzuk be mindket oldalt 2-vel)
x*(x-1)=210 (rendezzuk ugy, hogy az egyik oldalon 0 legyen, vonjunk ki belole 210-et)
x*(x-1)-210=0 (bontsuk fel a zarojelet)
x2-x-210=0

Vegyuk eszre, hogy ez egy masodfoku egyenlet, hasznaljuk a masodfoku egyenlet megoldokepletet, ami

x1,2=-b±√ b2-4ac  es ez az egesz osztva 2a-val,
esetunkben:
a= 1
b= -1
c= -210

Foglalkozzunk gyok alatti resszel, azaz:
√ (-1)2-4*1*(-210) =
=√ 1-4*1*(-210) =
=√ 1+4*1*210 =
=√ 1+840 =
=√ 841 =
=√ 292 =
=29

Ezt felhasznaljuk a masodfoku egyenlet megoldokepleteben, azaz
x1,2=-b±√ b2-4ac  es ez az egesz osztva 2a-val,
esetunkben:
a= 1
b= -1
c= -210

Tehat:
x1,2=-b±√ b2-4ac  es ez az egesz osztva 2a-val,

x1,2=-(-1)±29 es ez az egesz osztva 2*1-el,

A megoldas x1-re:
x1=-(-1)+29 es ez az egesz osztva 2-el,
x1=1+29/2=30/2=15

A megoldas x2-re:
x2=-(-1)-29 es ez az egesz osztva 2-el,
x2=1-29/2=-28/2=-14

Mivel negativ szamu ember nem vehetett reszt, ezert latjuk, hogy 15 ember vett reszt.

Ell.:

Behelyettesitjuk a megoldast az elejen megallapitott egyenletunkbe:

x*(x-1)/2=105 (x-szer zarojelben x minusz 1 zarojel bezarva ez az egesz per 2 egyenlo 105)

15*(15-1)/2=105
15*14/2=105
210/2=105
105=105