1. Először is, mit jelent az, hogy tan(x)=5/8? Azt jelenti, hogy van nekünk egy derékszögű háromszögünk, ahol az x szöggel szemközti befogó hossza 5 egység, a szög melletti befogó hossza 8 egység, ekkor lesz az x szög tangense 5/8. Ebben a derékszögű háromszögben az átfogó hosszát meg tudjuk határozni Pitagorasz tételével:

5² + 8² = c², erre √ 89 =c adódik, tehát az átfogó hossza √ 89  egység. Ennek tudatában már felírhatjuk a szög szinuszát: sin(x)=5/√ 89 .

A tan(x) függvény az I. és a III. síknegyedben pozitív, amit az előbb kiszámoltunk, az az I. negyedbeli megoldás volt. A III. síknegyedben ugyanez a koncepció fog megvalósulni, annyi különbséggel, hogy a III. síknegyedben a szinusz értéke viszont negatív, emiatt ott sin(x) értéke -5/√ 89  lesz.

2. Bongolo már leírta erre a jó megoldást, ám az túl sok esetet tárgyal, és szerencsére van másik megoldási út is; ismerjük az a²-b²=(a+b)*(a-b) azonosságot, ezt itt lehet használni; ebben az esetben a=3x-4, b=6x-7, így az (a+b)*(a-b) részbe beírva a tagokat, ezt kapjuk:

([3x-4]+[6x-7]) * ([3x-4]-[6x-7]), a szögletes zárójel csak a jobb áttekinthetőséget szolgálja. Azokat kibontjuk:
(3x-4+6x-7) * (3x-4-6x+7), majd összevonunk a kerek zárójeleken belül:
(9x-11) * (-3x+3), tehát az eredeti egyenletből ezt kapjuk:
(9x-11) * (-3x+3) =0
Egy szorzat értéke akkor 0, hogyha valamelyik tényezője 0, esetünkben
vagy 9x-11=0, tehát x=11/9
vagy -3x+3=0, tehát x=1, ez a két megoldása az egyenletnek.

Másik lehetőség, hogy az általános módszerrel oldjuk meg; kibontjuk a zárójeleket az (a-b)²=a²-2ab+b² azonosság szerint:

(9x²-24x+16)-(36x²-84x+49)=0, ezt is kibontjuk:
9x²-24x+16-36x²+84x-49=0, végül összevonunk:
-27x²+60x-33=0, esetleg lehet osztani (-3)-mal:
9x²-20x+11=0, ezt meg tudjuk oldani a megoldóképlettel.

3. Szorzunk a nevezőkkel: x*(x+4) = 3*(2x+1), kibontjuk őket:
x²+4x=6x+3, kivonunk annyit, amennyi a bal oldalon van:
x²-2x-3=0, ezt a másodfokú egyenlet megoldóképletével meg tudjuk oldani; x₁=3, x₂=-1. Az eredeti egyenletbe ezeket beírva és végigszámolva tudunk ellenőrizni.

4. Megoldjuk a szokott módon: kivonunk 1-et:
2x<4, végül osztunk 2-vel:
x<2, most meg kell néznünk, hogy melyek azok a természetes számok (vagyis a 0 és a pozitív egészek), amelyek kisebbek 2-nél. Erre a válasz a 0 és az 1, tehát az x=0 és az x=1 megoldások teszik igazzá az egyenlőtlenséget a természetes számok halmazából.