1)
tg x = sin x / cos x = 5/8
8/5 sin x = cos x
Tudjuk, hogy sin²x + cos²x = 1
sin²x + (8²/5² sin²x) = 1
(25+64)/5² sin²x = 1
sin²x = 5²/89
sin x = ±5/√89

2)
Az alján a ------ alatt van egy másik megoldás is, ami nem abszolút értékes, az talán egyszerűbb.

x>0
(3x-4)² - (6x-7)² = 0
(3x-4)² = (6x-7)²
vonjunk gyököt:
|3x-4| = |6x-7|
Ha x < 7/6, akkor a jobb oldalon negatív van az abszolút értékben
Ha x < 4/3 = 8/6, akkor a bal oldalon negatív van az abszolút értékben
Vagyis a három érdekes tartomány ez:
a) 0 < x < 7/6
b) 7/6 ≤ x < 8/6
c) 8/6 ≤ x

a) 0 < x < 7/6, mindkettő negatív:
-(3x-4) = -(6x-7)
4-3x = 7-6x
3x = 3
x = 1
Ez beleesik a tartományba, rendben van.

b) 7/6 ≤ x < 8/6, a bal oldali negatív:
-(3x-4) = (6x-7)
11 = 9x
x = 11/9
Mivel 11/9 = (22/3)/6 = (7 + 1/3)/6, beleesik a tartományba, ez is jó megoldás.

c) 8/6 ≤ x, mindkettő pozitív:
(3x-4) = (6x-7)
3x = 3
x = 1
Ez nincs benne a tartományban, nem megoldás.
(Az a) esetben ugyanez jött ki, ott persze megoldás volt)

-------

Másik megoldás:

(3x-4)² - (6x-7)² = 0
Hajtsuk végre a négyzetre emelést:
(9x² - 24x + 16) - (36x² - 84x + 49) = 0
bontsuk fel a zárójeleket:
9x² - 24x + 16 - 36x² + 84x - 49 = 0
-27x² + 60x - 33 = 0
szorozzuk meg -1-gyel, hogy szimpatikusabbak legyenek az előjelek:
27x² - 60x + 33 = 0
osszunk 3-mal, hogy kisebb számok legyenek:
9x² - 20x + 11 = 0
Használjuk a megoldóképletet:
x₁₂ = (20 ± √ 20² - 4·9·11 ) / (2·9)
x₁₂ = (20 ± √ 4 ) / 18

x₁ = 22/18 = 11/9
x₂ = 1

3)
x+4 / 3 = 2x+1 / x
szorozzunk keresztbe a nevezőkkel:
(x+4)·x = (2x+1)·3
x² + 4x = 6x + 3
x² - 2x - 3 = 0
Megoldóképlet:
x₁₂ = (2 ± √ 2² - 4·(-3) ) / 2
x₁₂ = (2 ± √ 3 + 12 ) / 2
x₁₂ = (2 ± 4) / 2
x₁ = 3
x₂ = -1

4) x természetes szám
(2x+1)< 5

Megjegyzés: Tényleg ez a feladat? Nem maradt le valami?

2x < 4
x < 2
Ilyen természetes szám kettő van:
x₁ = 0
x₂ = 1

5) valós:
√ 3-x  + √ x-3 
Ez akkor értelmezhető a valós számok halmazán, ha a négyzetgyök alatt pozitív szám, vagy nulla van. Vagyis:
3-x ≥ 0
3 ≥ x
a másik pedig:
x-3 ≥ 0
x ≥ 3

Mindkettőnek egyszerre kell teljesülnie. Érdemes számegyenesre felrajzolni a két egyenlőtlenséget:

-+---+---+---+---+---+---+---+-
 -2    -1    0      1     2      3     4      5
==============●                      x ≤ 3
                                       ●=====        x ≥ 3

A kettőnek a közös része egyedül a 3, tehát x=3 a megoldás.