Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Hány részhalmaza adható meg?
Moceaux
kérdése
842
Egy n elemű halmaznak legfeljebb hány részhalmaza adható meg úgy, hogy bármelyik kettő metszete nem üres halmaz legyen?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
kombinatorika
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
bongolo{ }
megoldása
Ha van benne 1 elemű halmaz is, akkor az az elem mindegyik részhalmazban benne kell legyen. Ez szerencsésen biztosítja azt is, hogy bármelyik kettő metszetében is benne van ez az elem, tehát a metszet nem üres halmaz. Vagyis kiválasztjuk bármelyik elemet közös elemnek, a maradék n-1 elemnek pedig 2n-1 féle részhalmaza lehet. Abban benne van az üres halmaz is, az adja a kiválasztott elemmel együtt az 1 elemű halmazt.
Lássuk be, hogy 2n-1-nél több nem lehet. Az összes részhalmazok száma, amiből válogatni lehet, az 2ⁿ (ebben az üres halmaz is benne van de nem baj). Ha kiválasztjuk a H részhalmazt, akkor H komplementere nem lehet a kiválasztottak között, mert annak H-val nincs közös eleme. Vagyis mindegyik kiválasztotthoz tartozik egy, amit tuti nem választhatunk ki. Ezért biztos, hogy 2ⁿ/2-nél több nem lehet a részhalmazok száma.
Mivel az első részben találtunk is olyat, mi pontosan 2ⁿ/2 elemű, az a megoldás.
Rantnad megjegyzése teljesen jogos, külön meg kell nézni azt, hogy mi van, ha n=0. Az üres halmaznak csak az üres halmaz a részhalmaza, tehát nincs két részhalmaz, amik között metszetet lehet nézni. Hmm, értelmezés kérdése, hogy ilyenkor a feladat milyen feltételt vár el. Én arra hajlok, hogy ekkor a válasz 0 (mert a bármelyik kettő ilyenkor azt jelentheti, hogy az egy szem üres részhalmaz önmagával vett metszetéről van szó), de meg lehetne győzni arról is, hogy 1.
Rantnad, szerinted melyik a jobb?
Módosítva: 7 éve
1
Rantnad:
Ez a képlet az üres halmazra nem vonatkozik, azt külön kell tárgyalni, az lemaradt.
7 éve0
Rantnad:
Én abból a részből indulnék ki, hogy "Lássuk be, hogy 2^(n-1)-nél több nem lehet.". A 0,5-nél a 0 nem több, tehát az lesz a megoldás. Egyébként ∅∩A=∅, és az üres halmaznak csak az üres halmaz a részhalmaza, és az előző értelmében az üres halmaz metszete bármivel csak üres halmaz lehet.
7 éve0