Számoljuk ki a második kérdést először, azt is visszafelé. Tehát azzal fogom kezdeni, hogy 5 címzett kapja meg a saját levelét, máshogy fogalmazva 0 ember kap idegen levelet. Közben próbálok majd valami általános dolgot kitalálni, amihez jelöljük N(k)-val azt, hogy k ember egyike sem kapja meg a saját levelét.

a) Mindenki a sajátját kapja: 1 lehetőség.
N(0) = 1

b) 4 ember kapja a sajátját: Ilyen nincs, hisz akkor már az ötödik is a sajátját kell kapja.
N(1) = 0

c) 3 ember kapja a sajátját:
(5 alatt 3) eset lehet az, hogy melyik három kapja a sajátját. A maradék 2 pont fordítva kapja, ez 1 eset. N(2) = 1
Tehát összesítve a válasz (5 alatt 3) = 10.

d) 2 ember kapja a sajátját:
(5 alatt 2) eset lehet az, hogy melyik kettő kapja a sajátját. A maradék 3 (legyenek A, B és C) vagy B,C,A, vagy pedig C,A,B leveleket kaphattak, más lehetőség nincs. Ez 2 eset, N(3) = 2
Tehát összesítve a válasz (5 alatt 2) · N(3) = 20.

e) 1 ember kapja a sajátját:
5 eset lehet az, hogy melyik kapja a sajátját. A maradék 4 embert nézzük részletében:
Az első kaphat 3-félét, mondjuk a k-adikat.
- Ha a k-adik ember az elsőt kapja (vagyis az első és a k-adik cseréltek), akkor a maradék kettő nem kaphatja meg a sajátját, éppen cserélniük kellett, ez 1 lehetőség. Egyébként ez pontosan N(2)-vel azonos!
- Ha a k-adik nem az elsőt kapta, akkor gondolhatjuk azt, hogy ezentúl a k-adiknak a saját levele (amit nem kaphat meg) az az 1-es levél, és átalakult a probléma azzá, hogy 3 ember egyike sem kapja meg a sajátját. Ez pedig N(3)=2 esetben lehet, ahogy az előbb láttuk.

Összesen tehát annak, hogy 4 ember nem kapja meg a sajátját, 3·(1+2) = 9 esete lehet: N(4) = 9
A teljes esetszáma pedig annak, hogy 1 megkapja 4 pedig nem, az 5 · N(4) = 45

És akkor az első kérdésre a válasz:

f) Senki sem kapja a sajátját az 5 ember közül:
Az első kaphat 4-félét, mondjuk a k-adikat.
- Ha a k-adik ember az elsőt kapja, akkor a maradék három nem kaphatja meg a sajátját, ez N(3)=2 lehetőség.
- Ha a k-adik nem az elsőt kapta, akkor gondolhatjuk azt, hogy ezentúl a k-adiknak a saját levele (amit nem kaphat meg) az az 1-es levél, és átalakult a probléma azzá, hogy 4 ember egyike sem kapja meg a sajátját. Ez pedig N(4)=9 esetben lehet, ahogy az előbb láttuk.
Összesen tehát 4·(2+9) = 44 eset lehet.

-----

Nem volt kérdés, de már látszik egy olyan összefüggés, hogy azon lehetőségek száma, hogy k ember egyike sem kapja meg a saját levelét:
N(k) = (k-1)·[N(k-2) + N(k-1)]

Ezt az általános képletet az előző kettővel azonos módon lehetne egyszerűen bizonyítani, de ez nem volt feladat.