Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matek sos

35
Sziasztok! Szeretném a segítségeteket kérni egy feladatban. Amit sehogy sem tudok megoldani. )-: Elküldöm neked a kérdést hátha tudsz nekem rá választ adni, hogy vajon hogyan is lehet ezt megoldani.(Sajnos a jobb jegyen múlik a dolog, pontosabban a 3 ért) Ha tudsz rá választ kérlek írj.Előre is nagyon köszönöm.
Igazoljuk, hogy az Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0(nulla) egyenlet akkor és csak akkor kör egyenlete, ha B²+C²>4AD és A≠0(nulla)

Hogyan kell az A, B, C, D együtthatójukat megválasztani, hogy:

a, a középpontja az x tengelyre illeszkedjen.

b, a középpontja az y tengelyre illeszkedjen

c, érintse az x tengelyt

d,érintse az y tengelyt
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
A kör egyenlete:

Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0(nulla)

És

B²+C²>4AD és A≠0(nulla)

Az ilyen típusú feladatokra nincsen standard megoldási algoritmus.

Először bizonyítsuk be, hogy nem létezik
`Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0`
alakú másodfokú egyenlet, ahol
`B²+C² = 4AD`

Írjuk fel az egyenlet megoldásait:
`x_(1,2) = \frac{-B+\sqrt{B^2-4A\(Ay^2+Cy+D\)}}{2A}`

`B^2-4A^2y^2-4ACy-4AD >= 0`
`B^2-4Ay(Ay+C)-4AD >= 0`
`B^2-4Ay(Ay+C) >= 4AD`

Ugyanez a megoldás y-ra:
`y_{1,2}=\frac{-C\pm \sqrt{C^2-4A\(Ax^2+Bx+D\)}}{2A}`

Tehát
`C^2-4A(Ax^2+Bx+D) >= 0`
`C^2-4A^2x^2-4ABx-4AD >= 0 `
`C^2-4Ax(Ax+B) >= 4AD`

`C^2-4Ax(Ax+B) >= 4AD`
`B^2-4Ay(Ay+C) >= 4AD`

Hogyha
`4AD = B^2 + C^2`

Akkor átírhatjuk az egyenletrendszert:
`C^2-4Ax(Ax+B) >= B^2 + C^2`
`B^2-4Ay(Ay+C) >= B^2 + C^2`

`B^2 + C^2 >= 2(B^2 + C^2) `
Ami nyilvánvalóan ellentmondás

Mivel a kör egyenlete is egy speciális másodfokú egyenletrendszer, így beláthatnánk állításunk helyességét
De a konkrét értelmezés kedvéért vizsgáljuk meg a kör egyenletének klasszikus bizonyítását:

`Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0`

Alakítsuk teljes négyzetekkel az egyenletet
`(x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 `
alakra!

`Ax^2 + Ay^2 + Bx + Cy + D = 0`

`x^2 + y^2 + B/A*x + C/A*y + D/A = 0`

`(x + B/(2A))^2 + (y+ C/(2A))^2 + D/A = B^2/(4A^2) + C^2/(4A^2)`

`(x+B/(2A))^2 + (y+C/(2A))^2 = (B^2 + C^2 -4AD)/(4A^2)`

Hogyha
`4AD = B^2 + C^2`

Akkor az egynelet jobb oldala nulla, így nem kapunk kört.

A kör egyenletének teljesüléséhez szükséges, hogy a jobb oldalon pozitív szám álljon (r=0 kör nem kör)


Az a,b,c,d feladatrészben az együtthatókkal kell "játszani"

a, akkor illeszkedik a középpontja az x tengelyre, hogyha (R;0) pont a középpontja (tehát y=0)

Tehát:
`C/(2A) = 0`
`C = 2A`

B és D értékei independesek, értékük `R`

b,
akkor illeszkedik az y tengylre, ha a középpontja
`O:(0;y)`
tehát az x koordinátája 0

Tehát
`B/2A = 0`
`B = 2A`

C és D értékek independeskek, értékük `R`

c,
az x tengelyt akkor érinti a kör, hogyha a létezik olyan `x`, mely megoldása a

Írjuk fel az egyenlet megoldásait:
`x_(1,2) = \frac{-B+\sqrt{B^2-4A\(Ay^2+Cy+D\)}}{2A}`

A gyökös tag miatt:
`B^2-4Ay(Ay+C) >= 4AD`

Innen algebrai úton kifejezhető a többi érték

d,
ugyanez y-ra:
`y_{1,2}=\frac{-C\pm \sqrt{C^2-4A\(Ax^2+Bx+D\)}}{2A}`

a gyökös tag miatt
`C^2-4Ax(Ax+B) >= 4AD`

Innen algebrai úton kifejezhető a többi érték
0