Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matek sos
xy12
kérdése
397
Sziasztok! Szeretném a segítségeteket kérni egy feladatban. Amit sehogy sem tudok megoldani. )-: Elküldöm neked a kérdést hátha tudsz nekem rá választ adni, hogy vajon hogyan is lehet ezt megoldani.(Sajnos a jobb jegyen múlik a dolog, pontosabban a 3 ért) Ha tudsz rá választ kérlek írj.Előre is nagyon köszönöm.
Igazoljuk, hogy az Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0(nulla) egyenlet akkor és csak akkor kör egyenlete, ha B²+C²>4AD és A≠0(nulla)
Hogyan kell az A, B, C, D együtthatójukat megválasztani, hogy:
a, a középpontja az x tengelyre illeszkedjen.
b, a középpontja az y tengelyre illeszkedjen
c, érintse az x tengelyt
d,érintse az y tengelyt
Igazoljuk, hogy az Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0(nulla) egyenlet akkor és csak akkor kör egyenlete, ha B²+C²>4AD és A≠0(nulla)
Hogyan kell az A, B, C, D együtthatójukat megválasztani, hogy:
a, a középpontja az x tengelyre illeszkedjen.
b, a középpontja az y tengelyre illeszkedjen
c, érintse az x tengelyt
d,érintse az y tengelyt
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
aladintszigi
válasza
A kör egyenlete:
Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0(nulla)
És
B²+C²>4AD és A≠0(nulla)
Az ilyen típusú feladatokra nincsen standard megoldási algoritmus.
Először bizonyítsuk be, hogy nem létezik
`Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0`
alakú másodfokú egyenlet, ahol
`B²+C² = 4AD`
Írjuk fel az egyenlet megoldásait:
`x_(1,2) = \frac{-B+\sqrt{B^2-4A\(Ay^2+Cy+D\)}}{2A}`
`B^2-4A^2y^2-4ACy-4AD >= 0`
`B^2-4Ay(Ay+C)-4AD >= 0`
`B^2-4Ay(Ay+C) >= 4AD`
Ugyanez a megoldás y-ra:
`y_{1,2}=\frac{-C\pm \sqrt{C^2-4A\(Ax^2+Bx+D\)}}{2A}`
Tehát
`C^2-4A(Ax^2+Bx+D) >= 0`
`C^2-4A^2x^2-4ABx-4AD >= 0 `
`C^2-4Ax(Ax+B) >= 4AD`
`C^2-4Ax(Ax+B) >= 4AD`
`B^2-4Ay(Ay+C) >= 4AD`
Hogyha
`4AD = B^2 + C^2`
Akkor átírhatjuk az egyenletrendszert:
`C^2-4Ax(Ax+B) >= B^2 + C^2`
`B^2-4Ay(Ay+C) >= B^2 + C^2`
`B^2 + C^2 >= 2(B^2 + C^2) `
Ami nyilvánvalóan ellentmondás
Mivel a kör egyenlete is egy speciális másodfokú egyenletrendszer, így beláthatnánk állításunk helyességét
De a konkrét értelmezés kedvéért vizsgáljuk meg a kör egyenletének klasszikus bizonyítását:
`Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0`
Alakítsuk teljes négyzetekkel az egyenletet
`(x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 `
alakra!
`Ax^2 + Ay^2 + Bx + Cy + D = 0`
`x^2 + y^2 + B/A*x + C/A*y + D/A = 0`
`(x + B/(2A))^2 + (y+ C/(2A))^2 + D/A = B^2/(4A^2) + C^2/(4A^2)`
`(x+B/(2A))^2 + (y+C/(2A))^2 = (B^2 + C^2 -4AD)/(4A^2)`
Hogyha
`4AD = B^2 + C^2`
Akkor az egynelet jobb oldala nulla, így nem kapunk kört.
A kör egyenletének teljesüléséhez szükséges, hogy a jobb oldalon pozitív szám álljon (r=0 kör nem kör)
Az a,b,c,d feladatrészben az együtthatókkal kell "játszani"
a, akkor illeszkedik a középpontja az x tengelyre, hogyha (R;0) pont a középpontja (tehát y=0)
Tehát:
`C/(2A) = 0`
`C = 2A`
B és D értékei independesek, értékük `R`
b,
akkor illeszkedik az y tengylre, ha a középpontja
`O:(0;y)`
tehát az x koordinátája 0
Tehát
`B/2A = 0`
`B = 2A`
C és D értékek independeskek, értékük `R`
c,
az x tengelyt akkor érinti a kör, hogyha a létezik olyan `x`, mely megoldása a
Írjuk fel az egyenlet megoldásait:
`x_(1,2) = \frac{-B+\sqrt{B^2-4A\(Ay^2+Cy+D\)}}{2A}`
A gyökös tag miatt:
`B^2-4Ay(Ay+C) >= 4AD`
Innen algebrai úton kifejezhető a többi érték
d,
ugyanez y-ra:
`y_{1,2}=\frac{-C\pm \sqrt{C^2-4A\(Ax^2+Bx+D\)}}{2A}`
a gyökös tag miatt
`C^2-4Ax(Ax+B) >= 4AD`
Innen algebrai úton kifejezhető a többi érték
Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0(nulla)
És
B²+C²>4AD és A≠0(nulla)
Az ilyen típusú feladatokra nincsen standard megoldási algoritmus.
Először bizonyítsuk be, hogy nem létezik
`Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0`
alakú másodfokú egyenlet, ahol
`B²+C² = 4AD`
Írjuk fel az egyenlet megoldásait:
`x_(1,2) = \frac{-B+\sqrt{B^2-4A\(Ay^2+Cy+D\)}}{2A}`
`B^2-4A^2y^2-4ACy-4AD >= 0`
`B^2-4Ay(Ay+C)-4AD >= 0`
`B^2-4Ay(Ay+C) >= 4AD`
Ugyanez a megoldás y-ra:
`y_{1,2}=\frac{-C\pm \sqrt{C^2-4A\(Ax^2+Bx+D\)}}{2A}`
Tehát
`C^2-4A(Ax^2+Bx+D) >= 0`
`C^2-4A^2x^2-4ABx-4AD >= 0 `
`C^2-4Ax(Ax+B) >= 4AD`
`C^2-4Ax(Ax+B) >= 4AD`
`B^2-4Ay(Ay+C) >= 4AD`
Hogyha
`4AD = B^2 + C^2`
Akkor átírhatjuk az egyenletrendszert:
`C^2-4Ax(Ax+B) >= B^2 + C^2`
`B^2-4Ay(Ay+C) >= B^2 + C^2`
`B^2 + C^2 >= 2(B^2 + C^2) `
Ami nyilvánvalóan ellentmondás
Mivel a kör egyenlete is egy speciális másodfokú egyenletrendszer, így beláthatnánk állításunk helyességét
De a konkrét értelmezés kedvéért vizsgáljuk meg a kör egyenletének klasszikus bizonyítását:
`Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0`
Alakítsuk teljes négyzetekkel az egyenletet
`(x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 `
alakra!
`Ax^2 + Ay^2 + Bx + Cy + D = 0`
`x^2 + y^2 + B/A*x + C/A*y + D/A = 0`
`(x + B/(2A))^2 + (y+ C/(2A))^2 + D/A = B^2/(4A^2) + C^2/(4A^2)`
`(x+B/(2A))^2 + (y+C/(2A))^2 = (B^2 + C^2 -4AD)/(4A^2)`
Hogyha
`4AD = B^2 + C^2`
Akkor az egynelet jobb oldala nulla, így nem kapunk kört.
A kör egyenletének teljesüléséhez szükséges, hogy a jobb oldalon pozitív szám álljon (r=0 kör nem kör)
Az a,b,c,d feladatrészben az együtthatókkal kell "játszani"
a, akkor illeszkedik a középpontja az x tengelyre, hogyha (R;0) pont a középpontja (tehát y=0)
Tehát:
`C/(2A) = 0`
`C = 2A`
B és D értékei independesek, értékük `R`
b,
akkor illeszkedik az y tengylre, ha a középpontja
`O:(0;y)`
tehát az x koordinátája 0
Tehát
`B/2A = 0`
`B = 2A`
C és D értékek independeskek, értékük `R`
c,
az x tengelyt akkor érinti a kör, hogyha a létezik olyan `x`, mely megoldása a
Írjuk fel az egyenlet megoldásait:
`x_(1,2) = \frac{-B+\sqrt{B^2-4A\(Ay^2+Cy+D\)}}{2A}`
A gyökös tag miatt:
`B^2-4Ay(Ay+C) >= 4AD`
Innen algebrai úton kifejezhető a többi érték
d,
ugyanez y-ra:
`y_{1,2}=\frac{-C\pm \sqrt{C^2-4A\(Ax^2+Bx+D\)}}{2A}`
a gyökös tag miatt
`C^2-4Ax(Ax+B) >= 4AD`
Innen algebrai úton kifejezhető a többi érték
0
- Még nem érkezett komment!