Folyadékok,Arkhimédész

627)
Csak azért, hogy rendesen tudjunk képleteket írni, nevezzük V-nek a vas térfogatát. Ez nem ismert, nem is kell kiszámolni, reméljük, hogy majd ki fog esni.

A vas súlya ennyi:
G = m · g = (V · 7,8 kg/dm³) · g
A vas x része merül a higanyba, térfogata V·x. Az erre ható felhajtóerő megegyezik a kiszorított higany súlyával:
F₁ = ((V·x) · 13,6 kg/dm³) · g
A vízbe merülő részre [V·(1-x)] ható felhajtóerő:
F₂ = ((V·(1-x)) · 1 kg/dm³) · g

A vas lebeg a higany-víz rendszerben, ezért ezek az erők egyensúlyban vannak:
G = F₁+F₂
V · 7,8 · g = V·x · 13,6 · g + V·(1-x) · 1 · g
tényleg kiesik a V (valamint a g is):
7,8 = x · 13,6 + (1-x)
... fejezd be, most már könnyű.

629)
ℓ a léc hossza cm-ben.
A léc térfogata V₁ = 1 cm² · ℓ
A sűrűsége ρ₁ = 0,7 kg/dm³ = 0,7 g/cm³
A léc tömege: m₁ = 1 cm² · ℓ · 0,7 g/cm³ = 0,7 ℓ (grammban)

A test sűrűsége ρ₂ = 3 kg/dm³ = 3 g/cm³
A test tömege m₂ = 60 g = 3 g/cm³ · V₂ → V₂ = 20 cm³

ρvíz = 1 kg/dm³ = 1 g/cm³

A testre hat lefelé a súlyerő, felfelé a felhajtóerő. Ezek eredője lefelé hat, mert a test sűrűbb a víznél. Ennyi az eredő:
F₂ = m₂·g - ρvíz·V₂·g = (60 g - 1 g/cm³ · 20 cm³)·g
F₂ = 40 · g
[Ennek a mértékegysége fura, mert a 40 az gramm, a g pedig m/s², szóval ez milli-newton lesz, de nem baj; a g ki fog esni később, be sem érdemes szorozni. Fontos, hogy minden más is grammban menjen...]
Ez az erő hat a lécre is, ℓ/4-nél.

A lécre hat a tömegközéppontjában (ℓ/2-nél) a súlyerő lefelé:
G = m₁·g = 0,7ℓ·g
...és hat még a felére a felhajtóerő a lenti felének a közepénél (3ℓ/4-nél) felfelé:
F₁ = (V₁/2)·ρvíz·g = 1 cm² · ℓ/2 · 1 g/cm³ · g
F₁ = ℓ/2 · g

És hat még rá az A pontban (a csuklóban) pont akkora erő, hogy az erők eredője nulla legyen. Ez nem fontos... A fontos az, hogy a többi erőnek a forgatónyomatéka is nulla kell legyen eredőben.

A forgatónyomatékot elvileg az erőkarral szorozva kell kiszámolni, de az erőkarok helyett szorozhatunk a fenti ℓ/4 stb hosszakkal is, az erőkar ezeknek a valahányszorosa, és ez a "valahány" mindegyiknél ugyanannyi (ha tanultatok trigonometriát, akkor tudod, hogy ez cos α, de ez nem fontos).

Szóval a forgatónyomatékok: a felfelé forgató felhajtóerő nyomatéka megegyezik a másik két lefelé forgató eredőjével:
3ℓ/4 · F₁ = ℓ/2 · G + ℓ/4 · F₂
3ℓ/4 · ℓ/2·g = ℓ/2 · 0,7ℓ·g + ℓ/4 · 40·g
3ℓ²/8 = 0,35·ℓ² + 10ℓ
3ℓ² = 2,8ℓ² + 80ℓ
0,2 ℓ² = 80 ℓ
0,2 ℓ = 80
ℓ = 5 · 80 cm