A feladat már alapból arra enged következtetést, hogy valószínűleg valamiféle Biot-Savart törvényes feladat lesz, méghozzá annak is differenciális alakja.
A mágneses indukciónak csak a "z" irányú komponensére vagyunk kíváncsiak, ezért az `r` helyvektornak is csak a "z" irányú komponensére leszünk kíváncsiak. Az egységnyi töltést (`dq`) a töltéssűrűség segítségével kapjuk meg:
`dq=2*r*\pi*\Omega*dr`
Azért, az előbbi, mert ugye a korong egyik teljes oldala lesz a feltöltött felület. Annak a területe pedig `r^2*\Pi`. Azonban a fentebbi képletben azért szerepel csak egy `r`, mert a korongot felosztjuk végtelen sok gyűrűre. Ezeknek a gyűrűknek a kerületén elhelyezkedő töltéseket adjuk össze, egészen a végső `r`-ig. Hogy ezt a végtelen sok gyűrűt adjuk össze, kell egy infinitezimálisan kicsi `dr`, ami ugye folyamatosan növekszik. Ha ezt kiintegráljuk `0`-tól `r`-ig, akkor tulajdonképpen pont ez a gyűrűk összeadódásan végződik el a z tengelytől egészen a korong széléig.
Ez után felírjuk, hogy mekkora áram indikálódik, azaz mennyi töltés áramlik át egységidő alatt:
Tudjuk, hogy:
`dI=(dQ)/(dt)`
Azt is tudjuk azonban, hogy:
`\omega=(2*\pi)/(T)`
Ebből a `T`:
`T=(2*\pi)/(\omega)`
Ezt beírva `dt` helyére:
`dI=(dq*\omega)/(2*\pi)`
Azonban tudjuk, hogy `dq=2*r*\pi*\Omega*dr`
Ezért:
`dI=\Omega*\omega*r*dr`
Most írjuk fel a Biot-Savart törvényt:
`vec B=(\mu_0*I)/(4*\pi) int ((vec (dl) xx vec r)/(|r^3|))`
Itt ki kell használni, hogy a dolog hengerszimmetrikus, ezért valszeg hengerkoordinátarendszerben kell felírni az `r` vektort, és úgy integrálni. Ehhez küldök inkább egy linket:
https://fizipedia.bme.hu/index.php/Magnetosztatika_p%C3%A9ld%C3%A1k_-_K%C3%B6rmozg%C3%A1st_v%C3%A9gz%C5%91_t%C3%B6lt%C3%B6tt_test_m%C3%A1gneses_tere
Ha ez megvolt, és érthető, akkor megkapjuk, hogy a mágneses indukció z komponense:
`dB_z=(\mu_0*\Omega*\omega*r^3) / (2* (r^2+z^2)^(3/2) ) dr`
Ezt kell kiintegrálni a korong teljes területére, azaz `0`-tól `R`-ig:
`B_z= int_0 ^R(\mu_0*\Omega*\omega*r^3) / (2* (r^2+z^2)^(3/2) ) dr`
A konstansokat ki lehet emelni az integrálás elé, ezért amit mindösszesen integrálni kell:
`B_z=(\mu_0*\Omega*\omega)/(2) int_0 ^R (r^3)/((r^2+z^2)^(3/2)) dr`
Ezt kiintegrálva kapjuk, hogy:
`B_z=(\mu_0*\Omega*\omega)/(2)*( (R^2+2z^2)/(\sqrt(R^2+z^2)) -2z)`