Matematika

1. Az átlók hossza Pithagorasz tétellel kiszámítható: AC^2 = 12^2 + 7^2
Az átlók felezve metszik egymást és egyenlők, ezért MB=MC=c=AC/2

A koszinusz tételt felírjuk az MBC háromszögben:
7^2= c^2 + c^2 - 2*c*c*cos(alfa)

Mivel már csak a szög az ismeretlen,ezért ez az egyenlet megoldásával megadható.

1. Ha behúzod a téglalap egyik átlóját, akkor két derékszögű háromszöget kapsz, ahol a befogók hossza 7 és 12 cm. Ha a 7 cm-es oldallal szemközti szög α, akkor definíció szerint az α szög tangense 7/12, vagyis:

tg(α)=7/12, ezt számológéppel kiszámoltatjuk: α=~30,256°, értelemszerűen az emellett lévő szög 90°-30,256°=59,774°-os lesz. Ha behúzzuk a másik átlót is, akkor egyenlő szárú háromszögeket kapunk, mivel a téglalap átlói egyenlő hosszúak és felezik egymást. 2-2 egybevágó háromszög van köztük; az egyikbe az alap hossza 7 cm, az ezen nyugvó szögek 59,774°-osak, és mivel a háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért a harmadik szög nagysága 60,512°. Mivel a hajlásszög mindig 0 és 90°közé esik, és itt ez van ezért a másik szárszöget már nem szükséges kiszámolni. Tehát az átlók hajlásszöge 60,512°.

2. A vektorok összeadásra, kivonásra és számmal való szorzásra szerencsére ugyanúgy működnek, mint az algebrában a betűk, tehát csak azt kell csinálnunk, amit ott megtanultunk;

=4*a+4*b-3*b+3*a=7a+b. Egy vektort egy skalárral (számmal) úgy szorzunk, hogy minden koordinátáját megszorozzuk, tehát 7*a=(42;-7), összeadni pedig úgy adunk össze két vektort, hogy az azonos helyen álló koordinátákat összeadjuk, így 7*a+b=(40;-3).

A (6;-1) vektor úgy is felfogható, hogy ha állsz egy pontban, akkor 6-ot el kell lépned jobbra, majd 1-et lefelé. Ekkor a kezdőpont, az elfordulási pont és a végpont egy derékszögű háromszöget határoznak meg, ahol a befogók hossza 6 és 1, és az átfogó hossza a kérdés, tehát felírhatjuk Pitagorasz tételét, amiből az átfogóra √ 37  fog kijönni, ez az a vektor hossza. A b vektor hosszát ugyanezen gondolatmenet alapján ki tudjuk számolni, arra √ 20 -at kapunk.

3. a) Rendezzük az egyenletet: cos(x)=-1/2, ennek megoldásait tudjuk; x=±π/3 + k*2π, ahol k tetszőleges egész szám. A ± azért jö be, mert tudjuk, hogy a cos(x) függvény páros, vagyis szimmetrikus az y-tengelyre, tehát ha valami a jobb oldalon (pluszban) megtörténik, ugyanaz megtörténik a bal oldalon (mínuszban) is. Fokban a megoldása: x=±60°+k*360°.

b) Az első negyedbeli megoldás: x=π/6 + k*2π, ahol k tetszőleges egész. A másik megoldást úgy kapjuk, hogy az előbbit kivonjuk π-ből, tehát π-(π/6)=5π/6, tehát x=5π/6 + k*2π.

c) tg(x)=3/2, ezt számológéppel kiszámoltatjuk: x=~56,31°, de mivel a tg(x) függvény 360° szerint periodikus, ezért az összes megoldás: x=56,31°+ k*360°, ahol k tetszőleges egész.

d) Egy szorzat értéke akkor 0, hogyha valamelyik tényezőjének értéke 0, tehát

vagy cos(x)=0 melynek megoldása x=±π/2 + k*2π
vagy sin(x)+1=0, tehát sin(x)=-1, melynek megoldása x=-π/2+k*2π

Összevetve a megoldásokat, az egyenlet megoldása x=±π/2 + k*2π.

4a) A sin(x) függvény (alap)periódusa 2π. Ha a függvényen belül szorzunk, akkor a transzformációs szabályok szerint a függvényt vízszintesen összenyomjuk, így a periódus is összenyomódik, a negyedére, tehát a függvény (alap)periódusa 2π/4=π/2 lesz.

b) A tg(x) függvény periódusa π, ez zsugorodik a fentiek értelmében, így π/3,5=2π/7 lesz a periódus. A 2-es szorzó nem befolyásolja a periódust.

c) A tg(x) függvény π/2 + k*π esetén nincs értelmezve, tehát a tangensen belül ez nem jelenhet meg, vagyis:

1,5x ≠ π/2 + k*π, tehát x ≠ π/3 + k*π/1,5, tehát a függvény értelmezési tartományát így lehet felírni: x ∈ R\{π/3 + k*π/1,5, ahol k∈Z}. A 2-es szorzó itt sem befolyásol semmit.

d) a cos(x) függvény értékkészlete a [-1;1] intervallum, ugyanez igaz a cos(x/2)-re is, mivel a 2-es csak vízszintesen összetolja a függvényt. A 6-os szorzónak van itt jelentősége, az változtatja az értékkészlete [-6;6]-ra.

5a). A sin(x) alapfüggvényt kell transzformálni;
-a -60° miatt eltoljuk jobbra.
-a 3-as szorzó miatt harmadára zsugorítjuk vízszintesen
-a 1,5-es szorzó miatt 1,5-szeresére nyújtjuk függőlegesen
-végül a -1 miatt letoljuk.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1.5*sin(3*(x-pi%2F3))-1

b) A tg(x) függvényt kell csak eltolnunk a +60° miatt balra.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=tg(x%2Bpi%2F3)

(A függőleges vonalakat szaggatottan kell rajzolni.)