Elektrosztatikáról lévén szó, nincs semmilyen változó mágneses tér, tehát a Faraday-törvény alakja ebben az esetben `\text{rot}\ \mathbf{E}=\mathbf{0}`, vagyis az elektromos térnek örvénymentesnek kell lennie. Ráadásul a feladat azt kérdezi, hogy hogy a töltéselrendezésen kívül lehet-e ilyen a tér, tehát a vizsgált tartományban nincs töltés, így a Gauss-törvény miatt a tér nem csak örvény-, hanem forrásmentes is (`\text{div}\ \mathbf{E}=0`). Ezt a két feltételt kell ellenőrizni, ha teljesülnek, akkor `\mathbf{E}` lehet vákuumbeli sztatikus tér.



Az első triviális, a konstans vektor mindenféle deriváltja nulla, tehát teljesül mindkét feltétel. Ez egy homogén elektromos tér, ilyen természetesen létezik, méghozzá két végtelen nagy, töltött sík (végtelen nagy kondenzátor fegyverzetei) között.



A második egy sugárirányú, gömbszimmetrikus tér. Ezzel még nem lenne baj, ilyet generál egy vákuumban egyedül álló ponttöltés is: `Q/(4 pi epsilon_0 |\mathbf{r}|^3) \mathbf{r}`. Viszont a feladatban megadott tér nagysága lineárisan nő az origótól távolodva. Ebben az esetben az örvénymentesség teljesül, de a forrásmentesség nem:

`\text{rot}\ ((\mathbf{ab})\mathbf{r})=\mathbf{ab}*\text{rot}\ \mathbf{r}=\mathbf{0}`

`\text{div}\ ((\mathbf{ab})\mathbf{r})=\mathbf{ab}*\text{div}\ \mathbf{r}=3\mathbf{a}\mathbf{b}`

Ez azt jelenti, hogy létezik ilyen elektrosztatikus tér, de nem vákuumban, csak töltött térrészben. Ilyen tér alakul ki egy egyenletesen töltött gömb belsejében.



Nézzük a harmadikat. Számítsuk ki az `\mathbf{E}=\mathbf{r} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{r})` vektormező divergenciáját. Ez könnyű, ha ismerjük a `\text{div}\ (\mathbf{u} \times \mathbf{v})=``\mathbf{v}*\text{rot}\ \mathbf{u}-\mathbf{u}*\text{rot}\ \mathbf{v}` azonosságot:

`\text{div}\ \mathbf{E}=\text{div}\ (\mathbf{r} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{r}))=``(\mathbf{c} \times \mathbf{r})*\text{rot}\ \mathbf{r}-\mathbf{r}*\text{rot}\ (\mathbf{c} \times \mathbf{r})=``-2\mathbf{rc}`

(Mert `\text{rot}\ \mathbf{r}=\mathbf{0}` és `\text{rot}\ (\mathbf{c} \times \mathbf{r})=2\mathbf{c}`.)

Tehát a mező nem forrásmentes, így nem lehet töltésektől mentes térrész elektrosztatikus tere. A feladattal készen vagyunk, de a teljesség kedvéért még mutassuk meg, hogy ez a tér egyáltalán nem lehet elektrosztatikus tér, mert nem is örvénymentes. Ehhez a vektoriális szorzat rotációjára vonatkozó azonosságot érdemes használni: `\text{rot}\ (\mathbf{u} \times \mathbf{v})=``\mathbf{u}*\text{div} \ \mathbf{v}-``\mathbf{v}*\text{div} \ \mathbf{u}+``[\mathbf{v} grad]\mathbf{u}-``[\mathbf{u} grad]\mathbf{v}`.

`\text{rot}\ (\mathbf{r} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{r}))=``\mathbf{r}*\text{div} \ (\mathbf{c} \times \mathbf{r})-(\mathbf{c} \times \mathbf{r})*\text{div} \ \mathbf{r}+[(\mathbf{c} \times \mathbf{r}) grad]\mathbf{r}-[\mathbf{r} grad](\mathbf{c} \times \mathbf{r})=``\mathbf{0}-3(\mathbf{c} \times \mathbf{r})+(\mathbf{c} \times \mathbf{r})-(\mathbf{c} \times \mathbf{r})=``-3(\mathbf{c} \times \mathbf{r})`