Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Numerikus módszerek - mátrixnorma bizonyítás

58
Szeretnék segítséget kérni, hogy ezt a zh feladatot hogyan kéne megoldani. Sajnos gyakorlaton egy hasonló feladat sem volt, de eddig mindig kértek hasonló bizonyításos feladatot. Aki tud segíteni nagyon szépen köszönöm.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
bizonyítás, matek, egyetem, Numerikus_módszerek, régiZH
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
Az általad definiált mátrixnorma értelmetlen kifejezést tartalmaz. Viszont
tudok egyet, ami értelmes és mátrixnormának tekinthető:

`norm(bb "A")_m=n*max_(i,j) abs(a_(ij))`, ahol `1 le i,j le n`
Erről belátjuk, hogy teljesíti a mátrixnorma mind a négy axiómájában
leírtakat.

Először belátjuk a mátrixszorzatra vonatkozó egyenlőtlenséget.

Legyen `bb "A"=[a_(ij)]` és `bb "B"=[b_(jk)]`.

`norm(bb "AB")_m=n*max_(i,k) abs(sum_(j=1)^n a_(ij) b_(jk)) le `
`le max_(i,k) sum_(j=1)^n abs(a_(ij)) abs(b_(jk)) le`
`le n*sum_(j=1)^n frac{1}{n} norm(bb "A")_m frac{1}{n} norm(bb "B")_m le`
`le norm(bb "A")_m*norm(bb "B")_m`.
Bizonyításban első lépésként a szorzatösszeg abszolút értékére
vonatkozó egyenlőtlenséget alkalmazzuk, majd a maximumra vonatkozót.

Majd a mátrixösszegre vonatkozó egyenlőtlenség következik.

`norm(bb "A+B")_m=n*max_(i,k) abs(a_(ik)+b_(ik)) le n*max_(i,k) abs(a_(ik))+abs(b_(ik)) le`
`le n*max_(i,k) abs(a_(ik))+n*max_(i,k) abs(b_(ik)) le norm(bb "A")_m+norm(bb "B")_m`.
Itt a háromszög-egyenlőtlenség majd a maximumra vonatkozó egyenlőtlenséget alkalmazzuk.

A skalárral való szorzás azonossága, pedig abból következik, hogy komplex számok
esetén a szorzat abszolút értéke átírható a tényezők abszolút értékeinek szorzatára.

`norm(bb "cA")_m=n*max_(i,k) abs(c*a_(ij)) =n*max_(i,k) abs(c)*abs(a_(ij))=`
`=abs(c)*n*max_(i,k) abs(a_(ij))=abs(c)*norm(bb "A")_m`, ahol `c in CC`.

Végül, de nem utolsósorban, ha `bb "A" ne 0`, akkor `norm(bb "A")_m>0` és
`norm(bb "0")_m=0` teljesen nyilvánvaló.

A 2-es norma gondolom a gömb-norma, mint vektornorma akar lenni.
Illeszkedés alatt meg azt a egyenlőtlenséget értik, amelyet
"mátrixnorma kompatibilis a vektornormával" kifejezéssel
is illetnek. Így egy adott vektornormával több mátrixnorma is kompatibilis
is lehet. Maga az egyenlőtlenség amit belátunk így néz ki:
`norm( bb "Ax")_2 le norm( bb "A")_m*norm( bb "x")_2`

Újra megnézve a csatolt képet, végül is jól van leírva benne minden
(eredetileg a maximumnál lévő "`=`" jelet "`-`" jelnek véltem)
és az általam számolt mátrixnorma ekvivalens a feladatbelivel.
A 2. részhez tartozó egyenlőtlenség bizonyítása van hátra...
Módosítva: 1 hónapja
2