Segítsetek légyszíves megérteni.

Vezessünk be két valószínűségi változót: `N in {1,2,3}` jelentse azt, hogy hányadik napon készült a kiválasztott alkatrész, a `H in {0,1}` indikátorváltozó pedig azt, hogy hibás-e a kiválasztott alkatrész.

A feladat második mondata megadja `N` eloszlását: az 1. napon 1 egységnyi alkatrészt készítenek, a 2. és 3. napon pedig 2-2 egységnyit. Ez azt is jelenti, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott alkatrész feleakkora valószínűséggel készült az 1. napon, mint a 2. vagy 3. napon külön-külön. Vagyis:

`\text{P}(N=1)=1/5`

`\text{P}(N=2)=2/5`

`\text{P}(N=3)=2/5`

`H`-nak csak az `N` szerinti feltételes eloszlását ismerjük:

`\text{P}(H=1 | N=1)=0.05 \qquad \text{és} \qquad \text{P}(H=0 | N=1)=0.95`

`\text{P}(H=1 | N=2)=0.06 \qquad \text{és} \qquad \text{P}(H=0 | N=2)=0.94`

`\text{P}(H=1 | N=3)=0.04 \qquad \text{és} \qquad \text{P}(H=0 | N=3)=0.96`

Az a) kérdést a teljes valószínűség tétele segítségével válaszolhatjuk meg. Annak valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott alkatrész hibátlan:

`\text{P}(H=0)=``\text{P}(H=0 | N=1)\text{P}(N=1)+\text{P}(H=0 | N=2)\text{P}(N=2)+\text{P}(H=0 | N=3)\text{P}(N=3)=``0.95*1/5+0.94*2/5+0.96*2/5=``0.95`

A b) kérdéshez pedig Bayes tétele kell:

`\text{P}(N=3 | H=0)=``(\text{P}(H=0 | N=3)\text{P}(N=3))/(\text{P}(H=0))=``(0.96*2/5)/0.95=``192/475~~0.404`