Felületi integrál

Térjünk át hengerkoordinátákra, így egyszerűen paraméterezhető a felület:

`x=rho cos varphi`

`y=rho sin varphi`

`z=sqrt(x^2+y^2)=rho`

Tehát a felület paraméterezése: `\mathbf{r}(rho,varphi)=(rho cos varphi)\mathbf{i}+(rho sin varphi)\mathbf{j}+rho\mathbf{k}`, ahol `0 le rho le 1` és `0 le varphi lt 2pi`. A deriváltjai:

`\mathbf{r}'_rho=(cos varphi)\mathbf{i}+(sin varphi)\mathbf{j}+\mathbf{k}`

`\mathbf{r}'_varphi=(-rho sin varphi)\mathbf{i}+(rho cos varphi)\mathbf{j}`

Az érintővektorok szorzata:

`\mathbf{r}'_rho times \mathbf{r}'_varphi=|[\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}],[cos varphi,sin varphi,1],[-rho sin varphi,rho cos varphi,0]|=``-(rho cos varphi)\mathbf{i}-(rho sin varphi)\mathbf{j}+rho \mathbf{k}`

Ennek abszolút értéke:

`|\mathbf{r}'_rho times \mathbf{r}'_varphi|=``sqrt(rho^2 cos^2 varphi+rho^2 sin^2 varphi+rho^2)=``sqrt(2) rho`

Az integrandus: `f(rho,varphi)=x^2=rho^2 cos^2 varphi`.

Most már mindent tudunk az integrál kiszámításához:

`int_0^{2pi} int_0^1 f(rho,varphi) |\mathbf{r}'_rho times \mathbf{r}'_varphi|d rho d varphi=``int_0^{2pi} int_0^1 rho^2 cos^2 varphi sqrt(2) rho d rho d varphi=``sqrt(2) int_0^{2pi} cos^2 varphi d varphi int_0^1 rho^3 d rho =``sqrt(2) * [varphi/2 + (sin(2 varphi))/4]_0^{2pi} * [rho^4/4]_0^1=``sqrt(2)*pi*1/4=``(sqrt(2)pi)/4`