Először egy egyszerűbb: Mekkora sebesség kell, hogy Föld körül keringjen?

A rakétákat felfelé lövik, de az gyorsulva éri el a sebességet, közben víszintesbe fordul meg ilyesmi, Ez bonyolult, ezért ezt a keringési sebességet úgy szokták elképzelni, hogy vízszintesen kilősz egy puskagolyót ekkora sebességgel, és az nem esik le, hanem körpályán mozog.

Ekkor a körmozgáshoz a centripetális gyorsulást a g szolgáltatja:
acp = g
v²/R = g
ahol R a Föld sugara (pontosabban fejmagasságban a távolság a Föld középpontjától, de az szinte ugyanaz.)
Vagyis ez az "első kozmikus sebesség"-nek nevezett sebesség ennyi:
v₁ = √ g·R 

Ha nem a g-vel akarom felírni, hanem általánosabban, akkor is hasonló elv szerint kell számolni:
F = m·acp = G·M·m/R²
ahol M a Föld tömege, G a gravitációs állandó.
acp = G·M/R²
v²/R = G·M/R²
v₁ = √ G·M/R 

(Ez a sebesség persze a gyakorlatban nem igaz, mert a levegő miatt súrlódás van, tehát leesne a golyó, de ezt nem szokták figyelembe venni.)

---
Most jön a valódi kérdésre a válasz, de az előzőek jól fognak még jönni.

Ha az előző v₁-nél nagyobb sebeséggel lőjük ki a puskagolyót, akkor nem körpályán, hanem ellipszis pályán fog az a Föld körül keringeni. Ahogy növeljük a sebességet, egyre nagyobb lesz az ellipszis nagyátlója, de azért jó ideig visszajön még a golyó. Visszajön, mivel a Föld gravitációs terének az energiája (helyzeti energia) nagyobb, mint a golyó mozgási energiája.

A helyzeti energia a Föld felszínének a közelében m·g·h: minél közelebb vagyunk, annál kisebb.
A felszíntől messze már nem állandó a g, nem lehet így számolni. Úgy számolunk, hogy végtelen messze lesz 0 az energia, ahogy közeledünk, úgy pedig csökken. Vagyis negatív lesz mindenhol, de ez ne zavarjon. Biztos tanultátok:
Eh = -G·M·m/R

Ha a helyzeti és mozgási energiák összege éppen nulla (nem pedig negatív), az lesz az a sebesség, amikor legyűri a golyó a Föld gravitációját és elmegy a francba:
1/2·m·v² - G·M·m/R = 0
v² = 2GM/R
v₂ = √ 2GM/R 

Ez a "második kozmikus sebesség".

Persze a valóságban ez sem igaz, mert ott van a Nap is, szóval ekkora sebességnél Nap körüli ellipszis alakú pályára állna át a golyó, nem menne el a végtelenbe.

Mindenesetre érdekes, hogy v₂ = √ 2  v₁