Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Segítsetek kérlek.Sürgős.

377
A trapéz közép vonala 4 cm az egyik alapnál lévő szögek 20° és 70°. Számítások ki a trapéz alapjait,ha az alapok felezőpontjait összekötő szakasz hossza 1 cm.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Mivel mindkét szög hegyesszög, ezért ezek a szögek csak a hosszabb alapon lehetnek. A középvonal hosszáról azt tudjuk, hogy az alapok átlagának hosszával egyenlő. Ha a rövidebbik alap 2x (az később lesz fontos, hogy nem x-szel jelöltem), akkor a hosszabbik alap 8-2x hosszú, mivel ekkor (2x+8-2x)/2=4 lesz az átlaguk, ami nekünk kell.

Ha az egyik szárat eltoljuk a rövidebbik alap másik végpontjába, akkor a trapézt egy paralelogrammára és egy háromszögre bontjuk, ahol a háromszög egyik oldala 8-4x hosszú lesz (a hosszabbik alapból levonjuk a rövidebbik alapot), az ezeken fekvő szög 20°-os és 70°-os lesz, és mivel a háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért a harmadik szög 90°-os, tehát derékszögű. Ez azt jelenti, hogy a háromszög 8-4x hosszú oldala a derékszögű háromszög átfogója, így a háromszög másik két oldalát egyszerűen úgy ki tudjuk számolni, hogy felírjuk szögeik szinuszát, így kapjuk a (8-4x)*sin(20°) és (8-4x)*sin(70°) hosszokat a befogókra.

Most koncentráljuk az alapok középpontjait összekötő szakaszra; ez a szakasz két trapézra pontja a szakaszt, mindkettőben az alapok hossza x és 4-x (ezért kellett a 2x az elején, hogy most ne törttel kelljen számolni), az egyikben az egyik szár hossza (8-4x)*sin(20°), ez 20°-os szöget zár be a hosszabbik alappal, a másikban az egyik szár hossza (8-4x)*sin(70°), ami 70°-os szöget zár be a hosszabbik alappal.

Ugyanazt a lépést fogjuk megtenni, mint az előbb; az egyik szárat eltoljuk a rövidebbik alap másik végpontjába. Ha a 20°-os trapézt vesszük, akkor olyan háromszög keletkezik, ahol az alap hossza 4-2x (itt is levontuk a hosszabból a rövidebbik alapot), az ezen fekvő szög 20°-os, ezzel szemközt van az 1 cm-es oldal. Ezzel kaptunk egy háromszöget, amelyre fel tudjuk írni a koszinusztételt:

1² = (4-2x)² + ((8-4x)*sin(20°))² - 2*(4-2x)*(8-4x)*sin(20°)*cos(20°), ez egy másodfokú egyenlet, amit meg tudunk oldani. Én most nem vezetem le, helyette megoldatom WolframAlphával:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%C2%B2+%3D+(4-2x)%C2%B2+%2B+((8-4x)*sin(20%C2%B0))%C2%B2+-+2*(4-2x)*(8-4x)*sin(20%C2%B0)*cos(20%C2%B0)

Itt két kerekített értéket kapunk, de hogyha rányomsz az "Exact forms" gombra, akkor a pontos megoldást fogja kiadni. Mivel az x=~3,1709-es eredménnyel 4-2x értéke már negatív lenne, ezért ez nem lesz jó megoldás.

Csináljuk meg ugyanezt a másik trapézzal is, hátha másik megoldást kapunk; eltolás után olyan háromszöget kapunk, ahol a szög nagysága 70°, az oldala 4-2x, (8-4x)*sin(70°) és 1 cm, az 1 cm-es oldallal szemközt van a 70°-os szög, így:

1² = (4-2x)² + ((8-4x)*sin(70°))² - 2*(4-2x)*(8-4x)*sin(70°)*cos(70°), amelynek megoldása:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%C2%B2+%3D+(4-2x)%C2%B2+%2B+((8-4x)*sin(20%C2%B0))%C2%B2+-+2*(4-2x)*(8-4x)*sin(70%C2%B0)*cos(70%C2%B0)

Ugyanazt az eredményt kaptuk, tehát a trapéz egyértelműen meghatározható.

Innentől már csak annyi a dolgunk, hogy az oldalakban x helyére beírjuk a kapott számokat, és kiszámoljuk az értéküket.

Ha esetleg valami nem érthető, vagy nem tudsz ábrát csinálni a feladathoz, akkor segítek még. Tudom, hogy nehéz értelmezni, és sok is, és az is lehet, hogy van ennél rövidebb és "szebb" megoldás is, én (egyelőre) ezt találtam.
0

Egy ábra a gondolkozás segítéséhez. A hasonló háromszögeket (és az eredményeket) gondolom látod.
A teljes megoldás itt érhető el:
https://www.geogebra.org/m/GgphNQea
Módosítva: 3 éve
1