Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Integrálás

66
Csatoltam képet.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
A megadott segítséggel a feladat már nem nehéz, ugyanis az új koordinátarendszerben az integrálási tartomány egy egyszerű, a tengelyekre illeszkedő négyzetes tartomány lesz: `R_{u,v}={(u, v): -1 le u le 1 \text{ és } -1 le v le 1}`

Az integrandus az új változókkal: `(v^2)/(u+2)^2`

A régi változók kifejezése az újakkal: `x=(u+v)/2` és `y=(u-v)/2`

Innen a Jacobi-determináns: `J=|[(partial x)/(partial u),(partial x)/(partial v)],[(partial y)/(partial u),(partial y)/(partial v)]|=``|[1/2,1/2],[1/2,-1/2]|=``-1/4-1/4=-1/2`

Ennek az abszolút értékével skálázódik a tartomány mértéke a változótranszformáció hatására, vagyis `dxdy=1/2dudv`.

Most már mindent tudunk az integrál kiszámításához:

`int int_R (x-y)^2/(x+y+2)^2 dxdy=``int_{-1}^1 int_{-1}^1 (v^2)/(u+2)^2 1/2 dudv=``1/2 int_{-1}^1 1/(u+2)^2 du int_{-1}^1 v^2 dv=``1/2*[-1/(u+2)]_{-1}^1*[v^3/3]_{-1}^1=``1/2*[-1/3+1]*[1/3+1/3]=``2/9`

Egyébként az eredeti változókkal a tartomány `R={(x,y): -1 le x le 1 \text{ és } |x|-1 le y le -|x|+1}` módon paraméterezhető, ezzel numerikusan ellenőrizhető az eredmény. Mellékeltem a WolframAlpha kimenetéről képet, neki is kijött a `2/9`.
Módosítva: 1 hete
0