Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Háromszög területe
eltevedt
{ Elismert } kérdése
1594
Számoljuk ki az ABC háromszög területét, illetve adjuk meg magasságai hosszának pontos értékét, ha
A ( -2 : 2 )
B ( 4 : 4 )
C ( 8 : -3 )
A ( -2 : 2 )
B ( 4 : 4 )
C ( 8 : -3 )
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, Terület, Matematika, pont, magasság, egyenes, ABC, hármszög
matek, Terület, Matematika, pont, magasság, egyenes, ABC, hármszög
-1
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
Rantnad
{ 
}
megoldása
A háromszög területe oldal*oldalhoz tartozó magasság/2, tehát nekünk szükségünk van az oldalak és a magasságok hosszára.
Oldalhosszt két módon tudunk számolni; az egyik a távolságképlet használata, a másik, hogy az oldalakból a tanult módon vektort csinálunk, és azoknak a hosszát számoljuk. A kettő gyakorlatilag egy és ugyanaz, annyi különbséggel, hogy a távolságképlet összevonja ezt a két lépést, viszont a vektoros megoldással sokkal átláthatóbb a számolás:
AB→(6;2), ennek hosszát úgy kapjuk, hogy a koordinátákat négyzetre emeljük, összeadjuk, majd gyököt vonunk, ennek a Pitagorasz-tételhez van köze. Ennek a hossza √ 6²+2² =√ 40 egység.
AC→(10;-5), ennek hossza √ 10²+(-5)² =√ 125 egység.
BC→(4;-7), ennek hossza √ 4²+(-7)² =√ 65 egység.
Most kiválasztjuk valamelyik oldalt, például az AB-t. Az ehhez tartozó magasság hosszát úgy kapjuk meg, hogy felírjuk az AB oldal egyenes egyenletét, aztán az AB oldal magasságának egyenletét, ezeknek kiszámoljuk a metszéspontját, végül a metszéspont és a C pont távolságát, ami a magasság lesz.
Az AB vektor irányvektor, ebből normálvektort képzünk, így (2;-6) lesz belőle. Az A pont rajta van az egyenesen, így azzal felírva a képletet: 2x-6y=2*(-2)-6*2=-20, tehát 2x-6y=-16, ezt lehet 2-vel osztani: x-3y=-8.
Az AB vektor merőleges a magasságvonal egyenletére, így azt nem kell külön variálni. Itt a C pont koordinátáit írjuk be: 6x+2y=6*8+2*(-3)=42, 2-vel osztva a 3x+y=21 egyenletet kapjuk.
Most ezek metszéspontját kell kiszámolnunk, így egyenletrendszerbe foglaljuk őket:
x-3y=-8 }
3x+y=21 }
Az első egyenletből ki tudjuk fejezni x értékét: x=3y-8, így ezt beírjuk a második egyenletben x helyére:
3*(3y-8)+y=21, ennek megoldása y=4,5, ezt beírjuk x egyenletébe: x=3*4,5-8=5,5, tehát a magasságvonal és az AB oldal egyenese az M(5,5 ; 4,5) pontban metszik egymást.
Most MC távolsága a kérdés: MC→(2,5 ; -7,5), így hossza: √ 2,5²+(-7,5)² =√ 62,5 egység.
Így már mindent tudunk ahhoz, hogy kiszámoljuk a háromszög területét:
√ 40 *√ 62,5 /2, itt használjuk a gyökvonás azonosságait, így √ 625 =25-öt kapunk a háromszög területére.
A háromszög másik két magasságát a terület ismeretében már algebrailag is meg tudjuk határozni:
AC-hez tartozó magasság: √ 125 *mAC/2=25, erre mAC=√ 20 egység
BC-hez tartozó magasság: √ 65 *mBC/2=25, erre mBC=√ 500/13 egység.
Oldalhosszt két módon tudunk számolni; az egyik a távolságképlet használata, a másik, hogy az oldalakból a tanult módon vektort csinálunk, és azoknak a hosszát számoljuk. A kettő gyakorlatilag egy és ugyanaz, annyi különbséggel, hogy a távolságképlet összevonja ezt a két lépést, viszont a vektoros megoldással sokkal átláthatóbb a számolás:
AB→(6;2), ennek hosszát úgy kapjuk, hogy a koordinátákat négyzetre emeljük, összeadjuk, majd gyököt vonunk, ennek a Pitagorasz-tételhez van köze. Ennek a hossza √ 6²+2² =√ 40 egység.
AC→(10;-5), ennek hossza √ 10²+(-5)² =√ 125 egység.
BC→(4;-7), ennek hossza √ 4²+(-7)² =√ 65 egység.
Most kiválasztjuk valamelyik oldalt, például az AB-t. Az ehhez tartozó magasság hosszát úgy kapjuk meg, hogy felírjuk az AB oldal egyenes egyenletét, aztán az AB oldal magasságának egyenletét, ezeknek kiszámoljuk a metszéspontját, végül a metszéspont és a C pont távolságát, ami a magasság lesz.
Az AB vektor irányvektor, ebből normálvektort képzünk, így (2;-6) lesz belőle. Az A pont rajta van az egyenesen, így azzal felírva a képletet: 2x-6y=2*(-2)-6*2=-20, tehát 2x-6y=-16, ezt lehet 2-vel osztani: x-3y=-8.
Az AB vektor merőleges a magasságvonal egyenletére, így azt nem kell külön variálni. Itt a C pont koordinátáit írjuk be: 6x+2y=6*8+2*(-3)=42, 2-vel osztva a 3x+y=21 egyenletet kapjuk.
Most ezek metszéspontját kell kiszámolnunk, így egyenletrendszerbe foglaljuk őket:
x-3y=-8 }
3x+y=21 }
Az első egyenletből ki tudjuk fejezni x értékét: x=3y-8, így ezt beírjuk a második egyenletben x helyére:
3*(3y-8)+y=21, ennek megoldása y=4,5, ezt beírjuk x egyenletébe: x=3*4,5-8=5,5, tehát a magasságvonal és az AB oldal egyenese az M(5,5 ; 4,5) pontban metszik egymást.
Most MC távolsága a kérdés: MC→(2,5 ; -7,5), így hossza: √ 2,5²+(-7,5)² =√ 62,5 egység.
Így már mindent tudunk ahhoz, hogy kiszámoljuk a háromszög területét:
√ 40 *√ 62,5 /2, itt használjuk a gyökvonás azonosságait, így √ 625 =25-öt kapunk a háromszög területére.
A háromszög másik két magasságát a terület ismeretében már algebrailag is meg tudjuk határozni:
AC-hez tartozó magasság: √ 125 *mAC/2=25, erre mAC=√ 20 egység
BC-hez tartozó magasság: √ 65 *mBC/2=25, erre mBC=√ 500/13 egység.
0
- Még nem érkezett komment!
