Egyik megoldás, hogy a vektorokat, mint egy háromszög oldalait kezeled, ekkor kiszámolod a háromszög oldalainak hosszát. Egy vektor hosszát úgy kapod meg, hogy koordinátáit négyzetre emeled, a kapott számokat összeadod, végül gyököt vonsz, képlettel; ha v(a;b), akkor |v|=√ a²+b² , ahol |v| jelöli a v vektor hosszát (gyakorlatilag a Pitagorasz-tétel következménye). Tehát:

a vektor hossza: |a|=√ (-2)²+3² =√ 13  egység
b vektor hossza: |b|=√ 1²+(-3/2)² =√ 3,25  egység
a háromszög harmadik oldalát a két vektor különbsége adja; mindegy, hogy melyikből vonod ki melyiket, mivel a kivonás csak a vektor irányát befolyásolja, a hosszát nem.
a-b=(-3 ; 4,5), így hossza: |a-b|=√ (-3)²+4,5² =√ 29,25  egység

Ezzel kaptál egy háromszöget, melynek mindhárom oldalát ismered, és a √ 29,25  hosszú oldallal szemközti szög a kérdés, így felírhatod a háromszögre a koszinusztételt:

√ 29,25 ² = √ 13 ² + √ 3,25 ² - 2*√ 13 ²*√ 3,25 ²*cos(γ), kicsit alakítva az egyenleten:

29,25 = 13 + 3,25 - 2*√ 42,25 *cos(γ), itt szerencsére a gyökös kifejezés értéke "szép szám", így elvégezhetjük a műveletet:

29,25 = 13 + 3,25 - 13*cos(γ), erre -1=cos(γ) adódik, melynek megoldása 180°=γ. Ebből az derült ki, hogy az elején tévedtem, ugyanis ezek a vektorok nem határoznak meg egy háromszöget, mivel ezek egy egyenesre esnek (ettől függetlenül a koszinusztétel használható, mivel elfajult háromszögként kezelhető, ami csak azt jelenti, hogy olyan háromszög, melynek oldalai egy egyenesre esnek). Ez a megoldás azt mutatja, hogy az a és b vektorok olyan vektorok, hogy ellentétes irányba mutatnak, ekkor viszont azt kell megmutatnunk, hogy létezik olyan c negatív szám, hogy c*a=b. Látható, hogy ha az a vektor koordinátáit (-2)-vel osztjuk, akkor a b vektor koordinátáit, vagyis a b vektort kapjuk, tehát van ilyen c szám, mégpedig a c=-1/2.

Tehát a két vektor 180,0°-os szöget zár be egymással (a ,0 kell oda, mivel a feladat kikötötte, hogy tizedes pontossággal adjuk meg az értéket, és ezzel jelöljük, hogy úgy lett megadva; ha két tizedes pontosság kellene, akkor ,00-t írnánk, stb.).

Másik lehetőség, hogy a skaláris szorzatot írjuk fel:

a*b=|a|*|b|*cos(γ), ahol a*b értékét úgy kapjuk, hogy az azonos helyen álló koordinátákat összeszorozzuk, majd a kapott számokat összeadjuk, esetünkben: a*b=(-2)*1+3*(-3/2)=-6,25, tehát az egyenlet:

-6,25=√ 13 *√ 3,25 *cos(γ), vagyis
-6,25=√ 42,25 *cos(γ), innen
-1=cos(γ) adódik, vagyis γ=180,0°.

Sziasztok,
régi a téma, és csak egy kis helyesbítést írnék.
a és b skaláris szorzata = -6.5
Viszont a számítás többi része helyes.