Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Trigonometrikus azonosság

575
Hogyan lehetne ezt igazolni?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
1
Középiskola / Matematika

Válaszok

3
Addíciós képletekkel?
0

Valamit sikerült kihoznom, az eredményt is, vannak hézagok a hiányos matematikai ismereteim miatt.

A kiindulás:

`sin((3pi)/7)` =`sin((4pi)/7)`

illetve `sin^2(pi/7)` =a-val helyettesítek.

Nézzük a bal oldalt (és még négyzetre is emeltem, hogy haladjon):

`sin^2((3pi)/7)` = `(3*sin(pi/7)-4*sin^3(pi/7))^2` = `9*a-24*a^2+16*a^3`.

A jobb oldal kicsit hosszabb lesz, kétszer vesszük a kétszeres szögek szinuszát:

`sin^2((4pi)/7)` = `(2*sin((2pi)/7)*cos((2pi)/7))^2` = `(4*sin(pi/7)*cos(pi/7)*(1-2*sin^2(pi/7))^2` = `16*a*(1-a)*(1-2*a)^2`=`(16*a-16*a^2)*(1-4*a+4*a^2)` = `-64*a^4+128*a^3-80*a^2+16*a`.

Na ez a két kifejezés egyenlő. Összevonások után:

`64*a^4-112*a^3+56*a^2-7*a=0`

Ha az a=0-t most kihagyjuk, harmadfokú lesz az egyenlet:

`64*a^3-112*a^2+56*a-7=0`

Amit külső segítséggel megoldva:

`a_1` = `sin^2((pi)/7)`
`a_2` = `sin^2((2pi)/7)`
`a_3` = `sin^2((3pi)/7)`

Hogy miért, azt nem tudom, de leellenőriztem és annyi.

A harmadfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket is segítségül hívva:

`a_1*a_2*a_3` = `-d/a`

`a_1*a_2+a_1*a_3+a_2*a_3` = `c/a`

`1/a_1` + `1/a_2` + `1/a_3` = `(a_1*a_2+a_1*a_3+a_2*a_3)/(a_1*a_2*a_3)` = `(c/a)/(-d/a)` = `-c/d` = `(-56)/-7` = 8

A hézagokat betömendő feladat magasabb matematikai ismeretekkel rendelkezőknek.

Köszi!
0

Kazah: Nagyon szép megoldás. A kérdésedre, hogy miért pont azok az egyenlet gyökei, ez a válasz:

A kiinduló egyenleted ez:
`sin(3x)=sin(4x)`
Ennek két megoldása van:
a) `3x=4x + 2kπ`
b) `3x=π-4x + 2kπ`

a)-ból az `x_1 = 0 + 2kπ` megoldás jön, b)-ből viszont (`7x = π+2kπ`) több is:

`k=7n+0:\ x_2=π/7+2nπ`
`k=7n+1:\ x_3=(3π)/7+2nπ`
`k=7n+2:\ x_4=(5π)/7+2nπ`
`k=7n+3:\ x_5=π+2nπ`
`k=7n+4:\ x_6=(9π)/7+2nπ`
`k=7n+5:\ x_7=(11π)/7+2nπ`
`k=7n+6:\ x_8=(13π)/7+2nπ`

Viszont nem a szögek az izgalmasak, csak a szinuszuk, sőt, annak a négyzete:
`sin^2x_1=0`
`sin^2x_2=sin^2(π/7)`
`sin^2x_3=sin^2((3π)/7)`
`sin^2x_4=sin^2((5π)/7)=sin^2((2π)/7)`
`sin^2x_5=0`
`sin^2x_6=sin^2((9π)/7)=sin^2((2π)/7)`
`sin^2x_7=sin^2((11π)/7)=sin^2((3π)/7)`
`sin^2x_8=sin^2((13π)/7)=sin^2(π/7)`

Vagyis tényleg ez a 4 megoldás jön ki `a`-ra:
`a_1=0`
`a_2=sin^2(π/7)`
`a_3=sin^2((2π)/7)`
`a_4=sin^2((3π)/7)`

Viszont a teljességhez hozzátartozik, hogy nem is a fenti egyenletet oldottad meg, hanem a négyzetét:
`sin^2(3x)=sin^2(4x)`
aminek további megoldásai is vannak, hisz a két szinusz lehet ellentétes előjelű. A fentieken túl még ezek is megoldások:
c) `3x=4x+π + 2kπ`
d) `3x=-4x + 2kπ`
c)-ből a fenti `x_5` jön ki, d)-ből (`7x = 2kπ`) pedig:
`k=7n+0:\ x_9=2nπ → a_1`
`k=7n+1:\ x_(10)=(2π)/7+2nπ → a_3`
`k=7n+2:\ x_(11)=(4π)/7+2nπ → a_4`
`k=7n+3:\ x_(12)=(6π)/7+2nπ → a_2`
`k=7n+4:\ x_(13)=(8π)/7+2nπ → a_2`
`k=7n+5:\ x_(14)=(10π)/7+2nπ → a_4`
`k=7n+6:\ x_(15)=(12π)/7+2nπ → a_3`
Ezen megoldások szinuszainak a négyzete viszont nem hoz be új gyököt, odaírtam, hogy melyik `a_x`-szel azonosak.
Módosítva: 6 éve
0