Mit jelent az, hogy egy sorozat mértani? Azt, hogy az `n+1`-edik tagját úgy kapjuk meg, hogy az `n`-ediket megszorozzuk egy rögzített `q` hányadossal (kvóciens). Képlet alakban ez
`a_(n+1)=qa_n`
Na most, `a_n` is felírható ennek segítségével úgy, hogy
`a_n=qa_(n-1)`
azaz
`a_(n+1)=q^2 a_(n-1)`
Egészen addig lépkedhetsz visszafele a tagokon, amíg el nem érsz `a_1`-ig. Ekkor azt kapod, hogy
`a_(n+1)=q^n a_1`
mivel `n`-szer kellett hátrafele lépned. Ez a képlet általában így szerepel:
`a_n=q^(n-1) a_1`
Ez a mértani sorozat általános tagjának képlete. Hogyan használható ez a feladat megoldására? Írjuk fel az összes tagot ilyen alakban:
`a_2+a_4=qa_1+q^3a_1=qa_1(1+q^2)`
`a_3+a_5=q^2a_1+q^4a_1=q^2a_1(1+q^2)`
Így tehát kaptunk egy kétismeretlenes egyenletrendszert:
`{(,,qa_1(1+q^2),=,30 ),(q,*,qa_1(1+q^2),=,90):}`
(Annyit csináltam, hogy a másodikban a `q^2` tagot kettébontottam `q*q`-ra.)
Adja magát, hogy a két egyenletet leosszuk egymással, mivel a nagy részük megegyezik. Osszuk le hát a mádosikat az elsővel:
`(q*qa_1(1+q^2))/(qa_1(1+q^2))=90/30`
`q=3`
Ezzel az egyik ismeretlenünk megvan. keressük meg a másikat úgy, hogy ezt behelyettesítjük az első egyenletbe:
`3a_1(1+3^2)=30`
`a_1(1+9)=10`
`10a_1=10`
`a_1=1`
Ezzel megvan a sorozat két keresett paramétere.