Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Integrálás

600
Valaki tudna segíteni?
A teljes levezetésre lenne szükségem, és az lenne a legjobb ha papíron lenne, mert ott jobban átlátnám :)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

6
Az elemi függvények deriváltjait be kell magolnod a ZH-ra. Most hirtelenjében ezt találtam, remélem, benne van minden:
http://compalg.inf.elte.hu/~zslang/SziliDER-TABL.pdf

Mondjuk az első (a) ahhoz hasonlít, hogy 1 /  1 + x² . A táblázat szerint ez az arsh(x) deriváltja.
Először pont olyan alakra kell hozni:
1 /  2 + x²/2  = 1/√2 · 1 /  1 + x²/4  = 1/√2 · 1 /  1 + (x/2)² 
Az 1/√2-es szorzót ki lehet vinni az integrál elé, és legyen z = x/2
dz/dx = 1/2 → dx = 2dz
1/√2 · ∫ 1 /  1 +z²  2 dz
= 2/√2 · ∫ 1 /  1 +z²  dz
2/√2 = √2, így a primitív függvény √2 · arsh(z), vagyis √2 · arsh(x/2)

b)
A gyök alattiból ez lesz, teljes négyzetté alakítva:
1 + 4x - 5x² = -5(x² - 4/5 x - 1/5) = -5((x - 2/5)² - 4/25 - 1/5) = -5((x - 2/5)² - 9/25)
= 9/5 - 5(x - 2/5)²
1-z²-hez hasonlít a legjobban, olyan alakra kellene hozni, akkor lesz olyan, ami benne van a táblázatban:
9/5 · (1 - 25/9 · (x - 2/5)²) = 9/5 · (1 - (5x/3 - 2/3)²)
A szorzó 9/5 (pontosabban a gyökének a reciproka) kijön majd az integrál elé, marad ez:
1 /  1 - (5x/3 - 2/3)² 
Legyen z = (5x - 2)/3
dz/dx = 5/3
vagyis dx = 3/5 · dz
Az integrál ilyenné alakult:
√5/3 ∫ 1 /  1 - z²  3/5 dz
= √5/5 ∫ 1 /  1 - z²  dz
aminek a primitív függvénye a √5/5 arc sin(z) = √5/5 arc sin((5x-2)/3)
Módosítva: 7 éve
0

c)
Tudjuk, hogy ch²(x) - sh²( x) = 1
cth² x = ch² x / sh² x = (1 + sh² x) / sh² x = 1 + 1/sh²x
A táblázatból tudjuk, hogy cth x deriváltja -1 / sh²x, úgyhogy innen már könnyű:
z = 3x-7
dz/dx = 3
dx = 1/3 dz
∫ cth²(z) 1/3 dz = 1/3 ∫ 1 + 1/sh²(z) dz = 1/3(z - ∫ -1/sh²z dz)
= z/3 - cth z + C
= x - 7/3 - cth(3x-7) + C
= x - cth(3x-7) + C₂
0

d)
ln x deriváltja 1/x, ebből tudunk kiindulni. Látunk itt lnx-et is meg ki lehet emelni 1/x-et:
1/x · 1/(5 + 2016·ln x)
Ez jó hír, van a kifejezés belsejében egy függvény, aminek a deriváltja (illetve annak konstans-szorosa) is szerepel szorzóként.
Az ln x helyett az 5+2016 ln x-szel érdemes foglalkozni, mert az is hasonlóan viselkedik, mint at ln x, és azzal a kifejezés nagyobb részét fedjük le.
Mindezek a jelek azt jelentik, hogy érdemes bevezetni arra a rész-kifejezésre egy új változót: z = 5 + 2016·ln x
dz/dx = 2016/x
dx = x/2016 dz
∫ 1/x · 1/z · x/2016 dz = 1/2016 · ∫ 1/z dz
Ilyen egyszerű lett. Az történt tehát, hogy z deriváltja szerepelt szorzóként, dz mellett meg osztóként szerepelt, amik kiejtették egymást szerencsére.
1/z primitív függvénye ln z, tehát ez lett:
ln(5 + 2016·ln x)/2016 + C
0

e)
∫ shx · (chx - 2015)^(2016/7) dx
chx deriváltja shx, ami szorzóként szerepel, ez jó jel.
Legyen z = chx - 2015
dz/dx = shx
dx = 1/shx dz
∫ shx · z^(2016/7) · 1/shx dz
= ∫ z^(2016/7) dz
Ez meg már egy sima hatvány, rád bízom a befejezést.
0

f)
Huhh, ehhez már ötlet kell...
A  1+x²  ismerős lenne (arsh x deriváltja), ha a reciproka lenne itt, de nem az van. Csináljunk belőle olyat úgy, hogy a gyök négyzetét elosztjuk a gyökkel:
3 + 12x² / √(3 + 12x²)
Sőt, ez a 3 meg 12 ne zavaron, bontsuk le:
 3 + 12x²  dx = √3 · ∫  1 + (2x)²  dx
legyen z = 2x
dz/dx = 2
dx = 1/2 dz

Ez lesz:
√3/2 · ∫  1 + z²  dz

Ez eddig csak apróság volt, most jön a lényeg. Ezt kell tehát integrálni:
(1)
1 + z² / √(1 + z²)
Kettébontva:
1 /  1 + z²  primitív függvénye arsh z, de marad még ez:
z² / √(1 + z²)
Ez nem ismerős a táblázatból...

Azt tudjuk, hogy √x deriváltja 1/2 · 1/√x, szóval a nevezőbe került a gyök. Hátha kijön valami belőle, nézzük meg, mi  1+x²  deriváltja:
d/dx (1+x²)1/2 = 1/2 · (1+x²)-1/2 · 2x = x /  1+x² 
Olyasmi, de még nem az igazi.
Nézzük meg, mi x· 1+x²  deriváltja:
d/dx x· 1+x²  = 1· 1+x²  + x · x/ 1+x² 
= (1+2x²) /  1+x² 

Bejött az x² a számlálóba, szuper!!

Akkor felejtsük el, amit eddig csináltunk, valószínű lesz jobb is helyette. Lépjünk vissza az (1)-re:
1 + z² / √(1 + z²)
A számlálóban 1+2z² kellene...
1/2 · (2 + 2z²) /  1 + z² 
Az 1/2 megint kimegy az integrál elé, a teljes integrál tehát ez most:
√3/4 · ∫ (2 + 2z²) /  1 + z²  dz
= √3/4 · ( ∫ 1 /  1 + z²  dz + ∫ (1 + 2z²) /  1 + z²  dz )
= √3/4 · ( arsh z + z· 1+z²  ) + C

aztán z helyébe 2x, és kész.
Módosítva: 7 éve
0

g)
Itt x²·cos x meg x·cos x meg cos x-es tagok vannak.
Nézd meg, mi x·sin x illetve x²·sin x deriváltja, azokból valahogy kijön majd...
0