Integrálás

Az elemi függvények deriváltjait be kell magolnod a ZH-ra. Most hirtelenjében ezt találtam, remélem, benne van minden:
http://compalg.inf.elte.hu/~zslang/SziliDER-TABL.pdf

Mondjuk az első (a) ahhoz hasonlít, hogy 1 / √ 1 + x² . A táblázat szerint ez az arsh(x) deriváltja.
Először pont olyan alakra kell hozni:
1 / √ 2 + x²/2  = 1/√2 · 1 / √ 1 + x²/4  = 1/√2 · 1 / √ 1 + (x/2)² 
Az 1/√2-es szorzót ki lehet vinni az integrál elé, és legyen z = x/2
dz/dx = 1/2 → dx = 2dz
1/√2 · ∫ 1 / √ 1 +z²  2 dz
= 2/√2 · ∫ 1 / √ 1 +z²  dz
2/√2 = √2, így a primitív függvény √2 · arsh(z), vagyis √2 · arsh(x/2)

b)
A gyök alattiból ez lesz, teljes négyzetté alakítva:
1 + 4x - 5x² = -5(x² - 4/5 x - 1/5) = -5((x - 2/5)² - 4/25 - 1/5) = -5((x - 2/5)² - 9/25)
= 9/5 - 5(x - 2/5)²
1-z²-hez hasonlít a legjobban, olyan alakra kellene hozni, akkor lesz olyan, ami benne van a táblázatban:
9/5 · (1 - 25/9 · (x - 2/5)²) = 9/5 · (1 - (5x/3 - 2/3)²)
A szorzó 9/5 (pontosabban a gyökének a reciproka) kijön majd az integrál elé, marad ez:
1 / √ 1 - (5x/3 - 2/3)² 
Legyen z = (5x - 2)/3
dz/dx = 5/3
vagyis dx = 3/5 · dz
Az integrál ilyenné alakult:
√5/3 ∫ 1 / √ 1 - z²  3/5 dz
= √5/5 ∫ 1 / √ 1 - z²  dz
aminek a primitív függvénye a √5/5 arc sin(z) = √5/5 arc sin((5x-2)/3)

c)
Tudjuk, hogy ch²(x) - sh²( x) = 1
cth² x = ch² x / sh² x = (1 + sh² x) / sh² x = 1 + 1/sh²x
A táblázatból tudjuk, hogy cth x deriváltja -1 / sh²x, úgyhogy innen már könnyű:
z = 3x-7
dz/dx = 3
dx = 1/3 dz
∫ cth²(z) 1/3 dz = 1/3 ∫ 1 + 1/sh²(z) dz = 1/3(z - ∫ -1/sh²z dz)
= z/3 - cth z + C
= x - 7/3 - cth(3x-7) + C
= x - cth(3x-7) + C₂

d)
ln x deriváltja 1/x, ebből tudunk kiindulni. Látunk itt lnx-et is meg ki lehet emelni 1/x-et:
1/x · 1/(5 + 2016·ln x)
Ez jó hír, van a kifejezés belsejében egy függvény, aminek a deriváltja (illetve annak konstans-szorosa) is szerepel szorzóként.
Az ln x helyett az 5+2016 ln x-szel érdemes foglalkozni, mert az is hasonlóan viselkedik, mint at ln x, és azzal a kifejezés nagyobb részét fedjük le.
Mindezek a jelek azt jelentik, hogy érdemes bevezetni arra a rész-kifejezésre egy új változót: z = 5 + 2016·ln x
dz/dx = 2016/x
dx = x/2016 dz
∫ 1/x · 1/z · x/2016 dz = 1/2016 · ∫ 1/z dz
Ilyen egyszerű lett. Az történt tehát, hogy z deriváltja szerepelt szorzóként, dz mellett meg osztóként szerepelt, amik kiejtették egymást szerencsére.
1/z primitív függvénye ln z, tehát ez lett:
ln(5 + 2016·ln x)/2016 + C

e)
∫ shx · (chx - 2015)^(2016/7) dx
chx deriváltja shx, ami szorzóként szerepel, ez jó jel.
Legyen z = chx - 2015
dz/dx = shx
dx = 1/shx dz
∫ shx · z^(2016/7) · 1/shx dz
= ∫ z^(2016/7) dz
Ez meg már egy sima hatvány, rád bízom a befejezést.

f)
Huhh, ehhez már ötlet kell...
A √ 1+x²  ismerős lenne (arsh x deriváltja), ha a reciproka lenne itt, de nem az van. Csináljunk belőle olyat úgy, hogy a gyök négyzetét elosztjuk a gyökkel:
3 + 12x² / √(3 + 12x²)
Sőt, ez a 3 meg 12 ne zavaron, bontsuk le:
∫ √ 3 + 12x²  dx = √3 · ∫ √ 1 + (2x)²  dx
legyen z = 2x
dz/dx = 2
dx = 1/2 dz

Ez lesz:
√3/2 · ∫ √ 1 + z²  dz

Ez eddig csak apróság volt, most jön a lényeg. Ezt kell tehát integrálni:
(1)
1 + z² / √(1 + z²)
Kettébontva:
1 / √ 1 + z²  primitív függvénye arsh z, de marad még ez:
z² / √(1 + z²)
Ez nem ismerős a táblázatból...

Azt tudjuk, hogy √x deriváltja 1/2 · 1/√x, szóval a nevezőbe került a gyök. Hátha kijön valami belőle, nézzük meg, mi √ 1+x²  deriváltja:
d/dx (1+x²)1/2 = 1/2 · (1+x²)-1/2 · 2x = x / √ 1+x² 
Olyasmi, de még nem az igazi.
Nézzük meg, mi x·√ 1+x²  deriváltja:
d/dx x·√ 1+x²  = 1·√ 1+x²  + x · x/√ 1+x² 
= (1+2x²) / √ 1+x² 

Bejött az x² a számlálóba, szuper!!

Akkor felejtsük el, amit eddig csináltunk, valószínű lesz jobb is helyette. Lépjünk vissza az (1)-re:
1 + z² / √(1 + z²)
A számlálóban 1+2z² kellene...
1/2 · (2 + 2z²) / √ 1 + z² 
Az 1/2 megint kimegy az integrál elé, a teljes integrál tehát ez most:
√3/4 · ∫ (2 + 2z²) / √ 1 + z²  dz
= √3/4 · ( ∫ 1 / √ 1 + z²  dz + ∫ (1 + 2z²) / √ 1 + z²  dz )
= √3/4 · ( arsh z + z·√ 1+z²  ) + C

aztán z helyébe 2x, és kész.

g)
Itt x²·cos x meg x·cos x meg cos x-es tagok vannak.
Nézd meg, mi x·sin x illetve x²·sin x deriváltja, azokból valahogy kijön majd...