Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matek házi emelt szint

393
Sziasztok! Az a feladat, hogy az ABC háromszög BC oldalának B-hez közelebbi harmadolópontja A1, CA oldalának C-hez közelebbi harmadolópontja B1, és AB oldalának A-hoz közelebbi harmadolópontja C1. Az AA1, BB1, CC1 által határolt háromszög területe hányadrésze az eredeti ABC háromszög területének? Előre is köszönöm a válaszokat!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Ha emelt matek, akkor gondolom ismered a szinuszos területképletet; az a;b oldalú, γ hajlásszögű háromszög területe a*b*sin(γ)/2, ez persze bármelyik oldalra felírható.

Amikor behúzod ezeket a vonalakat, akkor a háromszöget 4 háromszögre osztod, abból a "középső" háromszög területe (illetve annak aránya az eredetivel) a kérdés. A középső háromszög területét úgy fogjuk megkapni, hogy a nagy háromszög területéből lefaragjuk a másik három területét.

A vonalak az egyik oldalt a harmadára, a másik oldalt a 2/3-ára vágja amellett, hogy a szög nem változik. Emiatt az a*b*sin(γ)/2-ből (a/3)*(2b/3)*sin(γ)/2=a*b*sin(γ)/9=(a*b*sin(γ)/2)/18, tehát a kis háromszög területe az eredeti háromszögének 1/18 része. Az ilyen háromszögből 3 darab van, tehát azok a nagy háromszög 3/18=1/6 részét teszik ki, így ami középen marad, az az 5/6 része.

Tehát a középső és az eredeti háromszög területének aránya 5/6.
0