Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Matek

38
Sziasztok. Ebben a matek feladatban szeretnék segitséget kérni. A feladatot természetesen mellékelem. A feladat először az lenne, hogy először meg kellene keresni a grafikont a stacionárius pontot és a metszéspontokat is, azután pedig leintegrálni határozott integrálként. Nagyon hálás vagyok minden segitségért.
A feladat
y=x²-4x+3
x∈〈1, 4〉
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
`f(x)=x^2-4x+3`
A stacionárius pontok azok a pontok olyan helyeken vannak, amelyeken a függvény deriváltja 0. Emiatt meg kell határozni a függvény deriváltját. Konstans deriváltja 0, `ax^k` deriváltja pedig `akx^(k-1)`. Függvények összegének deriváltja a függvények deriváltjainak összege (szorzatra nem igaz!), így
`f'(x)=2x^(2-1)-4*1x^(1-1)+0=2x-4`
Azt kell megkeresni, hogy ez hol vesz fel 0 értéket
`2x-4=0`
`2x=4`
`x=2`
Itt lesz a stacionárius hely. Pontot ebből úgy kapunk, hogy maghatározzuk, hogy itt milyen értéket vesz fel a függvény.
`f(2)=2^2-4*2+3=-1`
Így tehát az egyetlen stacionárius pont a `(2;-1)`

A metszéspontok alatt gondolom az `x`- és `y`-tengellyel felvett metszéspontokra gondolsz. Egy függvény az `y` tengelyt mindig az `x=0` helyen metszi. Ekkor a metszéspont `(0;f(0))` lesz.
Az `x`-tengellyel vett metszéspontokat zérushelyeknek is szokás nevezni, mivel itt lesz a függvény értéke 0. Tehát azt kell meghatározni, hogy `f(x)=0` milyen `x`-ekre igaz.
`f(x)=x^2-4x+3=0`
Ezt behlyettesítheted a másodfokú egyenlet megoldóképletébe, és megkapod a válaszokat. Alternatív megoldási módként feltételezheted, hogy a tanár (vagy a tankönyv írója) nem akar kellemetlenségeket okozni a diákoknak, azaz a megoldások "szépek", ez esetben egészek. Ekkor csak azt kell kitalálni, hogy melyik két szám összege `-4` és szorzata `3`. Rövid találgatás után rá lehet jönni, hogy ez a `-3` és a `-1`, azaz
`x^2-4x+3=(x-3)(x-1)`
Erről már villámgyorsan meg lehet mondani, hogy 0 értéket vesz fel, ha `x=3` vagy `x=1`. Így tehát az `x`-tengellyel vett metszéspontok a `(3;f(3))` és az `(1;f(1))` pontok lesznek. (A függvényérték kiszámolása mindhárom esetben feladat, de nem írom le.)
Nem tudom, hogy a zérushelyet a megadott intervallumon kell-e nézni, illetve hogy az a megtört zárójel nyitott vagy zárt intervallumot jelez. Mindenesetre ha csak az 1-nél nyitott intervallumot kell figyelembe venni, az `(1;f(1))` pont nem jó megoldás, hiszen az kívül esik ezen. Egyéb lábjegyzet ide, hogy mivel az `1` és `3` helyek úgy jöttek ki, hogy `f(x)=0`-ra kerestünk, a pontoknál gyakorlatilag nem kell számolni, hiszen `f(1)=f(3)=0`.

A határozott integrál meghatározásához először célszerű megkeresni a primitív függvényt (mondhatni szükséges, mert enélkül nem középiskolás anyagról beszélünk). A primitív függvény azon függvények egy halmaza, amelyeknek deriváltja a függvény. (Azért beszélünk függvények halmazáról, mivel a konstans tag deriváltja 0, így nem egyértelmű, hogy mit kell deriválni, hogy a függvényhez jussunk.)
A fenti deriválási szabály megfordításával belátható, hogy primitív függvényt is lehet keresni tagonként. A hatványos szabályból pedig le lehet vezetni, hogy `ax^k` primitív függvény `(ax^(k+1))/(k+1)+c`, ahol `c` konstans tag, és `k\ne -1` (deriváld le, és meglátod).
Ez alapján már meg tudjuk határozni a primitív függvényt (`3`-ra lehet úgy tekinteni, mint `3x^0`, mivel `x^0=1` minden `x\ne0`-ra).
`F(x)=(x^3)/3-(4x^2)/2+(3x^1)/1+c=1/3x^3-2x^2+3x+c`
(Itt eltekintettem attól, hogy minden taghoz kiírjam a konstans tagot. Lehetett volna, hogy azt írom, hogy `c_1+c_2+c_3` még pluszba, de mivel ezek konstansok, az összegük is az, és így helyettesíthetők `c`-vel. Primitív függvény keresése során általában csak a végén szoktunk kiírni egy darab `+c` tagot pont ezért. Arra viszont figyelni kell, hogy ezt nem szabad elhagyni, ha a primitív függvényt kérdezik; ha ezt elfelejted kiírni, akkor a válasz hibás.)
Végül kiszámíthatjuk a keresett határozott integrál értékét. Az egész primitív függvény számírást azért végeztük, mivel van egy olyan hasznos dolog, aminek Newton-Leibniz formula a neve. Eszerint
`int_a ^b f(x)dx=F(b)-F(a)`
Ez a mi helyzetünkre nézve azt jelenti, hogy
`int_1 ^4 f(x)dx=F(4)-F(1)`
Ennek kiszámolását rád hagyom, az csak számológép-használat.
(Ha itt megfigyeled, akkor ki fog esni a `c` tag. Emiatt nem katasztrofális, ha véletlen/direkt lehagyod számolás közben, és a tanár nem látja azt a részt. Viszont részpontszám nem adható, ha felírod `F(x)` képletét `c` nélkül, mivel ekkor hibás a primitív függvény. Ezért azt javaslom, hogy próbálj rá figyelni.)
1