Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Számtani sorozat.

1826
Az an számtani sorozatról a következőket tudjuk.
a2+a3+a4+a5=34 és a2*a3=28
Számítsuk ki a sorozat első tagját és a különbségét.
Lenne utána még egy szöveges feladat is.
Nagyon nem értem a matekot:(((
Előre is köszönöm!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Érdemes átírni a tagokat a1 és d szerint:

a1+d + a1+2d + a1+3d + a1+4d = 34, és
(a1+d) * (a1+2d) = 28

Az első egyenletben egyszerűen összevonunk; 4*a1 + 10d = 34, erre a1= 8,5-2,5d, ezt írjuk a második egyenletben a1 helyére:

(8,5-2,5d+d) * (8,5-2,5d+2d) = 28, vagyis
(8,5-1,5d) * (8,5-0,5d) = 28

Ez egy másodfokú egyenlet d-re, amit meg tudunk oldani. A megoldások: d₁=3 és d₂=59/3, innen a1₁=8,5-2,5*3=1, tehát az egyik sorozat első tagja 1, differenciája 3
a1₂=8,5-2,5*59/3=-122/3, tehát az első tag -122/3, a differencia 59/3.
Módosítva: 7 éve
0

Nem olyan bonyolult az a matek, szerintem érteni fogod. (Csak jó hosszú a megoldás....)

Számtani sorozat: pl. az, hogy 1,2,3,4,5...
Vagy pl. az, hogy 2,4,6,8,10,...
De az is, hogy 100,90,80,70,...

Van egy első tagja (a1) meg egy különbsége (d).
Az első példánal a1=1 volt az első tag, d=1 a különbség, mert két szomszédos különbsége 1.
A másodiknál a1=2, d=2
A harmadiknál a1=100, d=-10 vagyis negatív, mert lefelé ment.

Na most hogyan írjuk fel a második elemet általánosan? Hát úgy, hogy a1+d
És a harmadikat? Hát úgy, hogy a2+d. Ami ugyanaz, mint a1+d+d
És a tizediket? a1+d+d+d+d+d+d... öszesen 9-szer kell hozzáadni a d-t, úgy jutunk el a tizedik taghoz, hisz ha egyszer adtuk hozzá, akkor a másodikhoz jutottunk el.

Most ezek vannak:
a2 = a1+d
a3 = a1+d+d
a4 = a1+3d
a5 = a1+4d

Már csak bele kell írni ezeket a fenti egyenletekbe:
(a₁+d)+(a₁+2d)+(a₁+3d)+(a₁+4d) = 34
(a₁+d)·(a₁+2d) = 28

Aztán kifejtjük mindezt:
Az elsőnél van 4 darab a₁ meg 1+2+3+4=10 darab d, tehát
4·a₁+10·d = 34
A második.. hát azt be kell szorozni:
a₁·a₁ + a₁·2d + d·a₁ + d·2d = a₁² + 3d·a₁ + 2d² = 28

Az elsőből kifejezzük mondjuk a₁-et:
a₁ = (34 - 10d)/4 = (17 - 5d)/2
Behelyettesítjük a másikba a₁ helyére:
((17 - 5d)/2)² + 3d·(17 - 5d)/2 + 2d² = 28
Hát, elég gány dolog, ronda, de mit tegyünk, megint ki kell fejteni... megértem, hogy elmegy az ember kedve tőle :)
(17² - 2·17·5d + 5²d²)/2² + (3·17·d - 3·5·d²)/2 + 2d² = 28
Érdemes 4-gyel beszorozni:
17² - 2·17·5d + 5²d² + 2·(3·17·d - 3·5·d²) + 4·2d² = 4·28
Brrr, egyre rondább... már számológép is kell... de ne veszítsd el a türelmedet.
289 - 170d + 25d¹ + 102d - 30d² + 8d² = 112
289 - 170d + 25d¹ + 102d - 30d² + 8d² - 112 = 0
Huhh, csoportosítsuk először a d²-eket:
25d² - 30d² + 8d² → 3d²
aztán a d-ket:
-170d + 102d → -68d
meg a maradékot, amiben nincs d:
289 - 112 → 177

Vagyis ez lett:
3d² - 68d + 177 = 0

Most jön a másodfokú megoldóképlet:
₂d₁ = (68 ±  68² - 4·3·177 ) / 6
₂d₁ = (68 ±  4624 - 2124 ) / 6
₂d₁ = (68 ±  2500 ) / 6
huhh, pedig már kezdtem azt gondolni, hogy szívat a tanár... szerencsére a 2500 négyzetszám, 50²
₂d₁ = (68 ± 50) / 6
d₁ = 59/3
d₂ = 3

No, legalább az egyik szép egész szám lett.

Még nem vagyunk kész, a₁-et is ki kell számolni, de ez már könnyű. Mi is volt a₁? Ez:
a₁ = (17 - 5d)/2
jó messze fent volt eldugva...

d₁ esetére:
a₁ = (17 - 5·59/3)/2 = -122/3
d₂ esetében pedig:
a₁ = (17 - 5·3)/2 = 1

Ez a két megoldás van tehát:
-- a₁ = 1 és d = 3
-- a₁ = -122/3 és d = 59/3
0