Számtani sorozat.

Érdemes átírni a tagokat a1 és d szerint:

a1+d + a1+2d + a1+3d + a1+4d = 34, és
(a1+d) * (a1+2d) = 28

Az első egyenletben egyszerűen összevonunk; 4*a1 + 10d = 34, erre a1= 8,5-2,5d, ezt írjuk a második egyenletben a1 helyére:

(8,5-2,5d+d) * (8,5-2,5d+2d) = 28, vagyis
(8,5-1,5d) * (8,5-0,5d) = 28

Ez egy másodfokú egyenlet d-re, amit meg tudunk oldani. A megoldások: d₁=3 és d₂=59/3, innen a1₁=8,5-2,5*3=1, tehát az egyik sorozat első tagja 1, differenciája 3
a1₂=8,5-2,5*59/3=-122/3, tehát az első tag -122/3, a differencia 59/3.

Nem olyan bonyolult az a matek, szerintem érteni fogod. (Csak jó hosszú a megoldás....)

Számtani sorozat: pl. az, hogy 1,2,3,4,5...
Vagy pl. az, hogy 2,4,6,8,10,...
De az is, hogy 100,90,80,70,...

Van egy első tagja (a1) meg egy különbsége (d).
Az első példánal a1=1 volt az első tag, d=1 a különbség, mert két szomszédos különbsége 1.
A másodiknál a1=2, d=2
A harmadiknál a1=100, d=-10 vagyis negatív, mert lefelé ment.

Na most hogyan írjuk fel a második elemet általánosan? Hát úgy, hogy a1+d
És a harmadikat? Hát úgy, hogy a2+d. Ami ugyanaz, mint a1+d+d
És a tizediket? a1+d+d+d+d+d+d... öszesen 9-szer kell hozzáadni a d-t, úgy jutunk el a tizedik taghoz, hisz ha egyszer adtuk hozzá, akkor a másodikhoz jutottunk el.

Most ezek vannak:
a2 = a1+d
a3 = a1+d+d
a4 = a1+3d
a5 = a1+4d

Már csak bele kell írni ezeket a fenti egyenletekbe:
(a₁+d)+(a₁+2d)+(a₁+3d)+(a₁+4d) = 34
(a₁+d)·(a₁+2d) = 28

Aztán kifejtjük mindezt:
Az elsőnél van 4 darab a₁ meg 1+2+3+4=10 darab d, tehát
4·a₁+10·d = 34
A második.. hát azt be kell szorozni:
a₁·a₁ + a₁·2d + d·a₁ + d·2d = a₁² + 3d·a₁ + 2d² = 28

Az elsőből kifejezzük mondjuk a₁-et:
a₁ = (34 - 10d)/4 = (17 - 5d)/2
Behelyettesítjük a másikba a₁ helyére:
((17 - 5d)/2)² + 3d·(17 - 5d)/2 + 2d² = 28
Hát, elég gány dolog, ronda, de mit tegyünk, megint ki kell fejteni... megértem, hogy elmegy az ember kedve tőle
(17² - 2·17·5d + 5²d²)/2² + (3·17·d - 3·5·d²)/2 + 2d² = 28
Érdemes 4-gyel beszorozni:
17² - 2·17·5d + 5²d² + 2·(3·17·d - 3·5·d²) + 4·2d² = 4·28
Brrr, egyre rondább... már számológép is kell... de ne veszítsd el a türelmedet.
289 - 170d + 25d¹ + 102d - 30d² + 8d² = 112
289 - 170d + 25d¹ + 102d - 30d² + 8d² - 112 = 0
Huhh, csoportosítsuk először a d²-eket:
25d² - 30d² + 8d² → 3d²
aztán a d-ket:
-170d + 102d → -68d
meg a maradékot, amiben nincs d:
289 - 112 → 177

Vagyis ez lett:
3d² - 68d + 177 = 0

Most jön a másodfokú megoldóképlet:
₂d₁ = (68 ± √ 68² - 4·3·177 ) / 6
₂d₁ = (68 ± √ 4624 - 2124 ) / 6
₂d₁ = (68 ± √ 2500 ) / 6
huhh, pedig már kezdtem azt gondolni, hogy szívat a tanár... szerencsére a 2500 négyzetszám, 50²
₂d₁ = (68 ± 50) / 6
d₁ = 59/3
d₂ = 3

No, legalább az egyik szép egész szám lett.

Még nem vagyunk kész, a₁-et is ki kell számolni, de ez már könnyű. Mi is volt a₁? Ez:
a₁ = (17 - 5d)/2
jó messze fent volt eldugva...

d₁ esetére:
a₁ = (17 - 5·59/3)/2 = -122/3
d₂ esetében pedig:
a₁ = (17 - 5·3)/2 = 1

Ez a két megoldás van tehát:
-- a₁ = 1 és d = 3
-- a₁ = -122/3 és d = 59/3