Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matematika, Kombinatorika
fizikasegitseg
kérdése
908
Az alábbi egyenlőségeket kellene bebizonyítani:
1. (n alatt a k)(k alatt az l)(l alatt az m)=(n alatt az m)(n-m alatt az l-m)(n-k alatt az k-l)
2. (n alatt az 0)²+(n alatt az 1)²+(n alatt a 2)²+...+(n alatt az n)²=(2n alatt az n)
1. (n alatt a k)(k alatt az l)(l alatt az m)=(n alatt az m)(n-m alatt az l-m)(n-k alatt az k-l)
2. (n alatt az 0)²+(n alatt az 1)²+(n alatt a 2)²+...+(n alatt az n)²=(2n alatt az n)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
algebra, Matematika, kombinatorika, 9. osztály, Binomiális_együttható
algebra, Matematika, kombinatorika, 9. osztály, Binomiális_együttható
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
bongolo
{ 
}
megoldása
1.)
(a alatt b) = a! / (b! · (a-b)!)
Bal oldal:
n! / (k! · (n-k)!) · k! / (l! · (k-l)!) · l! / (m! · (l-m)!)
= n! / (n-k)! · 1 / (k-l)! · 1 / (m! · (l-m)!)
= n! / (m! · (l-m)! · (k-l)! · (n-k)!)
Jobb oldal:
n! / (m! · (n-m)!) · (n-m)! / ((l-m)! · (n-m-l+m)!) · (n-k)! / ((k-l)! · (n-k-k+l)!)
= n! / m! · 1 / ((l-m)! · (n-l)!) · (n-k)! / ((k-l)! · (n+l-2k)!)
= n! · (n-k)! / (m! · (l-m)! · (k-l)! · (n-l)! · (n+l-2k)!)
Összehasonlítva ezeket az látszik, hogy már csak azt kellene belátni, hogy ez igaz:
1 / (n-k)! = (n-k)! / ((n-l)! · (n+l-2k)!)
(n-l)! · (n+l-2k)! = (n-k)! · (n-k)!
Hmm, ez csak akkor igaz, ha k=l
Nem írtál el valamit?
(a alatt b) = a! / (b! · (a-b)!)
Bal oldal:
n! / (k! · (n-k)!) · k! / (l! · (k-l)!) · l! / (m! · (l-m)!)
= n! / (n-k)! · 1 / (k-l)! · 1 / (m! · (l-m)!)
= n! / (m! · (l-m)! · (k-l)! · (n-k)!)
Jobb oldal:
n! / (m! · (n-m)!) · (n-m)! / ((l-m)! · (n-m-l+m)!) · (n-k)! / ((k-l)! · (n-k-k+l)!)
= n! / m! · 1 / ((l-m)! · (n-l)!) · (n-k)! / ((k-l)! · (n+l-2k)!)
= n! · (n-k)! / (m! · (l-m)! · (k-l)! · (n-l)! · (n+l-2k)!)
Összehasonlítva ezeket az látszik, hogy már csak azt kellene belátni, hogy ez igaz:
1 / (n-k)! = (n-k)! / ((n-l)! · (n+l-2k)!)
(n-l)! · (n+l-2k)! = (n-k)! · (n-k)!
Hmm, ez csak akkor igaz, ha k=l
Nem írtál el valamit?
1
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ }
válasza
A második:
Tudjuk, hogy (n alatt k) = (n alatt n-k)
Így a négyzeteket fel lehet írni úgy, hogy:
(n alatt 0)(n alatt n) + (n alatt 1)(n alatt n-1) + ...(n alatt n)(n alatt 0)
Legyen mondjuk n fiú és n lány. Úgy tudunk n gyereket kiválasztani közülük, hogy
- kiválasztunk 0 fiút és n lányt, ez (n alatt 0)(n alatt n) lehetőség
- vagy 1 fiút és n-1 lányt, ez (n alatt 1)(n alatt n-1) lehetőség
- vagy 2 fiút és n-2 lányt, ez (n alatt 2)(n alatt n-2) lehetőség
stb
Ezeknek az összege van a bal oldalon, vagyis az, hogy hogyan lehet 2n gyerek közül kiválasztani n-et. Az meg pont a jobb oldali (2n alatt n).
Tehát ez igaz.
Tudjuk, hogy (n alatt k) = (n alatt n-k)
Így a négyzeteket fel lehet írni úgy, hogy:
(n alatt 0)(n alatt n) + (n alatt 1)(n alatt n-1) + ...(n alatt n)(n alatt 0)
Legyen mondjuk n fiú és n lány. Úgy tudunk n gyereket kiválasztani közülük, hogy
- kiválasztunk 0 fiút és n lányt, ez (n alatt 0)(n alatt n) lehetőség
- vagy 1 fiút és n-1 lányt, ez (n alatt 1)(n alatt n-1) lehetőség
- vagy 2 fiút és n-2 lányt, ez (n alatt 2)(n alatt n-2) lehetőség
stb
Ezeknek az összege van a bal oldalon, vagyis az, hogy hogyan lehet 2n gyerek közül kiválasztani n-et. Az meg pont a jobb oldali (2n alatt n).
Tehát ez igaz.
1
- Még nem érkezett komment!