Ez egy nevezetes probléma, a legtöbb kvantummechanika könyvben benne van, de a BME legendás fizikatanára is elmagyarázza pár percben: https://youtu.be/TgYmyPD9FT0?t=2469

A feladat alpontjai lényegében a levezetés szokásos lépésein visznek végig.


a) Feltételezzük, hogy a hullámfüggvény szeparálható, és `Psi(x,y,z)=``Psi_1(x)Psi_2(y)Psi_3(z)` alakban keressük. A Schrödinger-egyenlet:

`hat H Psi=E Psi`

3D-ben dolgozunk, és a dobozban a potenciál nulla, tehát a Hamilton-operátor alakja a következő:

`hat H=- ℏ^2/(2m)Delta=- ℏ^2/(2m)(partial^2/(partial x^2)+partial^2/(partial y^2)+partial^2/(partial z^2))`

A szorzatalakban történő felírás előnye, hogy egy adott változó szerinti deriválás mindig csak `Psi` egyik tényezőjét érinti, a másik kettő a deriválás szempontjából konstans. Tehát a szorzatalakban írt `Psi`-re vonatkozó Schrödinger-egyenlet:

`- ℏ^2/(2m)(Psi_2 Psi_3 (partial^2 Psi_1)/(partial x^2)+Psi_1 Psi_3 (partial^2 Psi_2)/(partial y^2)+Psi_1 Psi_2 (partial^2 Psi_3)/(partial z^2))=E Psi_1 Psi_2 Psi_3`


b) Osszuk le mindkét oldalt `Psi`-vel, azaz a `Psi_1 Psi_2 Psi_3` szorzattal:

`- ℏ^2/(2m)(1/Psi_1 (partial^2 Psi_1)/(partial x^2)+1/Psi_2 (partial^2 Psi_2)/(partial y^2)+1/Psi_3 (partial^2 Psi_3)/(partial z^2))=E`

Áttekinthetőbb, ha a konstansokat mind egy oldalra rendezzük:

`1/Psi_1 (partial^2 Psi_1)/(partial x^2)+1/Psi_2 (partial^2 Psi_2)/(partial y^2)+1/Psi_3 (partial^2 Psi_3)/(partial z^2)=-(2m)/(ℏ^2) E`

Most jön a levezetés kulcsgondolata. A bal oldalon az `1/Psi_1 (partial^2 Psi_1)/(partial x^2)` tag csak az `x` változó függvénye, `1/Psi_2 (partial^2 Psi_2)/(partial y^2)` csak `y` függvénye, `1/Psi_3 (partial^2 Psi_3)/(partial z^2)` pedig csak `z` függvénye. Összegük csak úgy lehet a doboz minden pontjában (`x`, `y` és `z` minden lehetséges értéke mellett) konstans, ha a három tag külön-külön is konstans. Ezzel az eredetileg parciális differenciálegyenlet három azonos alakú közönséges differenciálegyenletre esett szét:

`1/Psi_1 (d^2 Psi_1)/(d x^2)=-(2m)/(ℏ^2) E_x`

`1/Psi_2 (d^2 Psi_2)/(d y^2)=-(2m)/(ℏ^2) E_y`

`1/Psi_3 (d^2 Psi_3)/(d z^2)=-(2m)/(ℏ^2) E_z`

A háromdimenziós potenciáldoboz tehát irányonként külön-külön egydimenziós potenciáldoboznak tekinthető.


c) Mivel a három egyenlet alakilag teljesen ugyanolyan, általános `Psi_i(xi)` formában együtt kezelem mostantól őket. A b) feladatban kapott egyenlet:

`1/Psi_i (d^2 Psi_i)/(d xi^2)=-(2m)/(ℏ^2) E_xi`

Vezessük be a `k_xi=sqrt((2m)/(ℏ^2) E_xi)` hullámszámot:

`(d^2 Psi_i)/(d xi^2)=-k_xi^2 Psi_i`

Azt a `Psi_i(xi)` függvényt keressük tehát, aminek második deriváltja önmaga negatív konstansszorosa. Ilyet már biztosan sokat láttál, például dinamikából a harmonikus rezgőmozgásnál (`ddot x=-D/m x`), általános megoldása:

`Psi_i(xi)=C_1 sin(k_xi xi) + C_2 cos(k_xi xi)`

A konstansok a peremfeltételekből és a normálási feltételből határozhatók meg. Tudjuk, hogy a doboz falain kívül a részecske nem tartózkodhat, tehát itt a hullámfüggvény azonosan nulla. Viszont azt is tudjuk, hogy a hullámfüggvény reguláris függvény, így folytonos is. Ez azt jelenti, hogy a hullámfüggvénynek a doboz falainál nem lehet ugrása, itt is nullának kell lennie: `Psi_i(0)=Psi_i(L)=0`. Ezek lesznek a peremfeltételeink. Helyettesítsük be az elsőt:

`C_1 sin0 + C_2 cos0 = 0`

Innen `C_2 = 0`, tehát a hullámfüggvénynek csak szinuszos komponense van. Nézzük a másik peremfeltételt:

`C_1 sin(k_xi L)=0`

Ez egyrészt úgy lehetséges, ha `C_1=0`, de ekkor a hullámfüggvény konstans nulla, nincs részecske a dobozban, ez az eset minket nem érdekel. Ha `C_1 != 0`, akkor viszont `k_xi L=n*pi`, ahol `n in mathbb{Z}`. Eddig tehát így állunk:

`Psi_i(xi)=C_1 sin((n pi)/L xi)`

Végül azt a feltételt is teljesítenie kell `Psi_i(xi)`-nek, hogy a négyzetének a doboz belsejére vett integrálja egységnyi legyen (mert ez a részecske megtalálási valószínűségének sűrűségfüggvénye).

`int_0^L C_1^2 sin^2 ((n pi)/L xi) d xi=``C_1^2[xi/2-L/(4n pi) sin((2n pi)/L xi)]_0^L=``C_1^2 L/2`

Ez akkor lesz egy, ha `|C_1|=sqrt(2/L)`. Tehát a hullámfüggvény az alábbi:

`Psi_i(xi)=sqrt(2/L)sin((n_xi pi)/L xi)`

(Két megjegyzés: Itt bevezettem az `n` kvantumszámnak is egy `xi` indexet, mert a három irány kvantumszámai egymástól függetlenek lehetnek. Illetve normálási tényezőnek bármilyen, `sqrt(2/L)` amplitúdójú komplex szám megfelelne, de fizikai jelentése úgyis csak `|Psi|^2`-nek van, így megtehetem, hogy a végtelen sok lehetőség közül a pozitív valósat választom.)

Nézzük meg az energiaszinteket. A hullámszámot a `k_xi=sqrt((2m)/(ℏ^2) E_xi)` összefüggéssel vezettük be, a peremfeltételekből pedig azt kaptuk, hogy `k_xi=(n_xi pi)/L`. A kettőt összevetve az energiára a következő adódik:

`E_xi=(ℏ^2 pi^2)/(2 m L^2) n_xi^2=(h^2)/(8 m L^2) n_xi^2`

Már csak az van hátra, hogy összeállítsuk a háromdimenziós hullámfüggvényt:

`Psi(x,y,z)=Psi_1(x)Psi_2(y)Psi_3(z)=sqrt(8/L^3)sin((n_x pi)/L x)sin((n_y pi)/L y)sin((n_z pi)/L z)`

Az energiaszintek pedig:

`E=E_x+E_y+E_z=(ℏ^2 pi^2)/(2 m L^2) (n_x^2+n_y^2+n_z^2)=``(h^2)/(8 m L^2) (n_x^2+n_y^2+n_z^2)`

A kvantumszámok egymástól független pozitív egészek lehetnek (ha valamelyik nulla lenne, akkor `Psi` konstans nulla lenne, a negatív számok pedig nem hoznak új fizikai jelentést hordozó megoldást).