Először fordítva: Ha egy egyenes áthalad a beírható kör középpontján és felezi a területet, akkor felezi a kerületet is:
(Lehet, hogy nem lesz erre szükség végül, de ezt könnyű bebizonyítani:

Nézzük ezt az ábrát:
http://gorbem.uw.hu/Matek/Heron_elemei/image006.jpg
Az ábrán ρ jelöli a sugarat, én inkább r-et írok.
Erről "látszik" az ismert képlet: T = (a+b+c)·r/2
(A három kis háromszög területe... ugye ismered?)

Rajzoljunk O-n keresztül egyenest, ami P és Q pontokban metszi az AC és BC oldalakat. Legyen PC=b₁ és QC=a₁
TPQC = b₁·r/2 + c₁·r/2
Ha ez T-nek a fele, akkor:
2·(b₁·r/2 + c₁·r/2) = T = (a+b+c)·r/2
2(b₁+c₁) = a+b+c
Kész.

A fordítottja, szóval az eredeti kérdés bizonyítása:

Most is legyen PQ egyenes hasonló, de nem tudjuk, hogy átmegy-e az O ponton. Szóval rajzolj egy PQ-t, ami nem megy át O-n. Most is PC=b₁, QC=a₁.
a₁+b₁ fele a teljes kerületnek:
(a₁ + b₁) / (a+b+c) = 1/2
A nagy háromszög területe T, a kis PQC háromszög területét jelöljük t-vel.
t / T = 1/2 = (a₁ + b₁) / (a+b+c)
t / [ (a+b+c)·r/2 ] = (a₁ + b₁) / (a+b+c )
t = (a₁ + b₁) r/2

A jobb oldal éppen a POC és QOC háromszögek területének az összege. Mivel viszont ez a teljes PQC-nek is a területe (t), ezért PQO területe nulla, vagyis PQ keresztülmegy O-n.
Kész.