Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Geometria terület (emelt)

463
Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenes egy háromszög kerületét és területét is felezi, akkor áthalad a háromszög beírható körének középpontján!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
Először fordítva: Ha egy egyenes áthalad a beírható kör középpontján és felezi a területet, akkor felezi a kerületet is:
(Lehet, hogy nem lesz erre szükség végül, de ezt könnyű bebizonyítani:

Nézzük ezt az ábrát:
http://gorbem.uw.hu/Matek/Heron_elemei/image006.jpg
Az ábrán ρ jelöli a sugarat, én inkább r-et írok.
Erről "látszik" az ismert képlet: T = (a+b+c)·r/2
(A három kis háromszög területe... ugye ismered?)

Rajzoljunk O-n keresztül egyenest, ami P és Q pontokban metszi az AC és BC oldalakat. Legyen PC=b₁ és QC=a₁
TPQC = b₁·r/2 + c₁·r/2
Ha ez T-nek a fele, akkor:
2·(b₁·r/2 + c₁·r/2) = T = (a+b+c)·r/2
2(b₁+c₁) = a+b+c
Kész.

A fordítottja, szóval az eredeti kérdés bizonyítása:

Most is legyen PQ egyenes hasonló, de nem tudjuk, hogy átmegy-e az O ponton. Szóval rajzolj egy PQ-t, ami nem megy át O-n. Most is PC=b₁, QC=a₁.
a₁+b₁ fele a teljes kerületnek:
(a₁ + b₁) / (a+b+c) = 1/2
A nagy háromszög területe T, a kis PQC háromszög területét jelöljük t-vel.
t / T = 1/2 = (a₁ + b₁) / (a+b+c)
t / [ (a+b+c)·r/2 ] = (a₁ + b₁) / (a+b+c )
t = (a₁ + b₁) r/2

A jobb oldal éppen a POC és QOC háromszögek területének az összege. Mivel viszont ez a teljes PQC-nek is a területe (t), ezért PQO területe nulla, vagyis PQ keresztülmegy O-n.
Kész.
0