Kvantummechanika házifeldathoz kérnék segítséget

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor energiaszintjeit bizonyára levezettétek órán, ez elég bonyolult, a hullámfüggvényekben az Hermite-polinomok jelennek meg. Az energiaszinteket viszont érdemes fejből is tudni: `epsilon_n = ℏ omega (1/2+n)`, ahol `n in {0,1,2,...}`.


Bozongáz esetén az alapállapot az, amikor minden részecske az `n=0` kvantumszámhoz tartozó, `epsilon_0=1/2 ℏ omega` energiájú állapotot veszi fel, a rendszer összenergiája tehát `E_0=N/2 ℏ omega`. Az első gerjesztett állapot az, amikor `N-1` részecske `epsilon_0=1/2 ℏ omega` energiájú, egy részecske pedig `epsilon_1=3/2 ℏ omega` energiájú. Tehát az összenergia `E_1=(N/2+1) ℏ omega=``E_0+ℏ omega`.


Fermionok esetén a Pauli-elv miatt egy állapotot legfeljebb két (ellentétes spinű) részecske tölthet be. Tehát az alapállapoti összenergia ilyenkor páros `N` esetén:

`E_0=2epsilon_0+2epsilon_1+...+2epsilon_{N/2-1}=``2(epsilon_0+epsilon_1+...+epsilon_{N/2-1})=``2ℏ omega (N/2*1/2+0+1+...+N/2-1)=``2ℏ omega (N/4+((N/2-1)N/2)/2)=``ℏ omega (N^2)/4`

Páratlan `N` esetén:

`E_0=2epsilon_0+2epsilon_1+...+2epsilon_{(N-1)/2-1}+epsilon_{(N-1)/2}=``ℏ omega ((N-1)^2)/4+epsilon_{(N-1)/2}=``ℏ omega ((N-1)^2)/4+ℏ omega(1/2+(N-1)/2)=``ℏ omega( (N^2-2N+1)/4+N/2)=``ℏ omega (N^2+1)/4`

Az első gerjesztett energiaszint az, amikor a legnagyobb energiájú részecske még eggyel feljebb lép. (Illetve páratlan `N` esetén van egy olyan degenerált állapot is, hogy az egyik `epsilon_{(N-1)/2-1}` energiájú részecske gerjesztődik `epsilon_{(N-1)/2}` energiaszintre.) Itt is igaz lesz, hogy `E_1=E_0+ℏ omega`.