a) Ha a háromszög derékszögű, akkor teljesül rá Pitagorasz tétele, vagyis a két kisebb oldal (a befogók) négyzetösszege egyenlő a legnagyobb (az átfogó) négyzetével; 5²+12²=13², ezt szerintem te is be tudod látni, hogy igaz.

b) Thalesz tétele szerint ha egy szakaszra kört emelünk (vagyis a szakasz a kör átfogója lesz), a köríven kijelölünk egy tetszőleges pontot (ami nem a szakasz végpontjai), és összekötjük a szakasz végpontjaival, akkor derékszögű háromszöget kapunk. Esetünkben a kör átfogójának hossza 13 cm, így sugara 13/2=6,5 cm. A súlyvonal a csúcsot és a szemközti oldal középpontját köti össze, ami történetesen az előbbi kör sugara, ami 6,5 cm, tehát a súlyvonal hossza 6,5 cm hosszú.

c) Ha jól értem, akkor azt kell belátni, hogy 13/60 cm hosszú. Ezt a háromszög területéből lehet legkönnyebben kiszámolni; legyen az átfogóhoz tartozó magasság M. Egyrészt tudjuk, hogy a területe a befogók szorzatának fele, vagyis 5*12/2=30 cm, másrészt a területe=oldal*oldalhoz tartozó magasság/2, vagyis 13*M/2. Értelemszerűen a két terület egyenlő, tehát:

30=13*M/2, ennek megoldása 60/13=M, tehát az átfogóhoz tartozó magasság 60/13 cm (így gondolom elírtad a 13/60-at).

a)Pitagorasz-tétele fordítva is igaz, azaz, ha egy háromszög leghosszabb oldalának négyzete egyenlő a másik két oldalának négyzetösszegével, akkor a háromszög derékszögű(ha a2=b2+c2, akkor a háromszög derékszögű). Jelen esetben 13*13=12*12+5*5, leegyszerűsítve 169=169, tehát a háromszög derékszögű.
b) a súlyvonal hossza √ (2*b2+2*c2-a2)/4 , ami √ 169/4 , ami 13/2, ami 6,5.
c) A magasság 2 derékszögű háromszögre osztja a háromszöget, és az átfogót, pedig 2 részre. Az egyik rész legyen x, a másik 13-x. Legyen a magasság hossza h. Pitagorasz-tétele alapján 52=(13-x)2-52, ebből h2=52-(13-x)2. A másik háromszögben h2= 122-x2. Ez egy egyenletrendszer, hiszen mindkét egyenlet h2-tel egyenlő, azaz 122-x2=52-(13-x)2. Leegyszerűsítve 26x=338, azaz x=6,5 , így a magasság: h2=122 -x2=144-42,25=101,75