Az kell, hogy `W` részhalmaza legyen `mathbb{R}^5`-nek, és maga is vektortér legyen. Az előbbi feltétel triviálisan teljesül, az utóbbin áll vagy bukik a dolog. Vagyis azt kell megvizsgálni, hogy `W` teljesíti-e a vektortér-axiómákat (praktikusan: az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve zárt-e a halmaz).



a) Tehát `W` azokat az ötelemű vektorokat tartalmazza, amelyek első és negyedik koordinátája megegyezik. Ez vektortér, mert két ilyen vektor összegének is megegyezik az első és a negyedik koordinátája:

`[[x_1], [x_2], [x_3], [x_1], [x_5]]+[[y_1], [y_2], [y_3], [y_1], [y_5]]=[[x_1+y_1], [x_2+y_2], [x_3+y_3], [x_1+y_1], [x_5+y_5]]`

És egy ilyen vektor tetszőleges skalárszorosának is megegyezik az első és a negyedik koordinátája:

`lambda*[[x_1], [x_2], [x_3], [x_1], [x_5]]=[[lambda x_1], [lambda x_2], [lambda x_3], [lambda x_1], [lambda x_5]]`

Az altér dimenziója egyébként 4, bázisa például:

`[[1],[0],[0],[1],[0]]`, `[[0],[1],[0],[0],[0]]`, `[[0],[0],[1],[0],[0]]`, `[[0],[0],[0],[0],[1]]`



b) Ez is altér. Két ilyen vektor összege:

`[[x_1], [-x_1], [x_3], [-x_3], [0]]+[[y_1], [-y_1], [y_3], [-y_3], [0]]=[[x_1+y_1], [-(x_1+y_1)], [x_3+y_3], [-(x_3+y_3)], [0]]`

Egy ilyen vektor skalárszorosa:

`lambda*[[x_1], [-x_1], [x_3], [-x_3], [0]]=[[lambda x_1], [-lambda x_1], [lambda x_3], [-lambda x_3], [0]]`

Az altér dimenziója egyébként 2, bázisa például:

`[[1],[-1],[0],[0],[0]]`, `[[0],[0],[1],[-1],[0]]`



c) Nem, ezzel sok baj van, ezek a vektorok nem alkotnak vektorteret. Például mert az összeadás kivezet a halmazból: két ilyen vektor összegének az első koordinátája `-2` lesz, tehát az összegvektor nem eleme `W`-nek. De ugyanígy kivezet a skalárral való szorzás is. Ráadásul a nullvektor nem eleme `W`-nek (pedig az minden vektortérben benne kell legyen), nincs additív inverz.


d) Nem, ugyanazért, amiért c) sem.


e) Ez altér:

`[[x_1], [x_2], [5x_2], [x_4], [x_5]]+[[y_1], [y_2], [5y_2], [y_4], [y_5]]=[[x_1+y_1], [x_2+y_2], [5(x_2+y_2)], [x_4+y_4], [x_5+y_5]]`

`lambda*[[x_1], [x_2], [5x_2], [x_4], [x_5]]=[[lambda x_1], [lambda x_2], [5(lambda x_2)], [lambda x_4], [lambda x_5]]`

Dimenziója 4, bázisa például:

`[[1],[0],[0],[0],[0]]`, `[[0],[1],[5],[0],[0]]`, `[[0],[0],[0],[1],[0]]`, `[[0],[0],[0],[0],[1]]`



Tehát a), b) és e) alterek. Ha jobban megnézzük, ezekben az a közös, hogy a koordinátákra lineáris, HOMOGÉN egyenlet(rendszer) írható fel. Általánosan is igaz, hogy ilyenkor alteret kapunk (mégpedig az egyenletrendszer együtthatómátrixának magterét), `W` vektorai `mathbb{R}^5` origóján átmenő egyeneseket, síkokat, tereket, hipersíkokat feszítenek ki. Az alterek dimenziója is beszédes, azt fejezi ki, hogy `W` vektorainak hány független koordinátája van.