Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Fizika

55
10 cm sugarú, végtelen hosszú henger felületi töltéssűrűsége ω. A felületet 10 cm-es, egyenletes vastagságú, εr =5 relatív permittivitású réteggel vesszük körül. Mekkora a henger felületi töltéssűrűsége, ha a 10-7 C töltést 1.2∙10-4 J munka árán tudjuk a henger tengelyétől mért 25 cm távolságból 9 cm-rel közelebb hozni a tengelyhez?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Fizika

Válaszok

1
Tehát ha jól értem az elrendezést, akkor van két koaxiális hengerfelület, `r=10\ \text{cm}`-nél van a töltés, a `10\ \text{cm} lt r lt 20\ \text{cm}` tartományban `epsilon_r=5` permittivitású szigetelő van, az `r gt 20\ \text{cm}` tartományban pedig vákuum (`epsilon_r=1`). És a belső, `10\ \text{cm}` sugarú hengerpalást `omega` töltéssűrűsége a kérdés.

Az elrendezés szimmetriáiból következően az elektromos tér csak radiális lehet. Jelöljük a belső henger sugarát `R`-rel, és írjuk fel a Gauss-törvényt egy `r gt R` sugarú, `h` magasságú hengerre (amely tehát tartalmazza az összes töltést, és az integrálnak járuléka csak a henger palástján van, a lapjain nincs):

`\oint \ \mathbf{D} d\mathbf{A}=int rho dV`

`D*2 pi rh=2pi R h omega`

`D=omega R/r`

`E=omega/(epsilon_0 epsilon_r) R/r`

Ezzel megvan az elektromos tér, ami - elektrosztatikáról lévén szó - konzervatív. A munkavégzés kezdő és végpontja közötti potenciálkülönbséghez az elektromos teret kell integrálni. Viszont az integrált két részre kell bontanunk, mert először vákuumban megyünk `5\ \text{cm}`-t, aztán a dielektrikumban még `4\ \text{cm}`-t:

`U=int_{0.25}^{0.16} E dr=``(omega R)/epsilon_0 (int_{0.25}^{0.2}1/r dr+int_{0.2}^{0.16}1/(5r) dr)=``(omega R)/epsilon_0 (ln(0.2/0.25)+1/5 ln(0.16/0.2))=``(omega R)/epsilon_0*1.2 ln0.8`

Általunk az elektromos mező ellenében végzett munka `W=-UQ`, kifejezve ebből a keresett töltéssűrűséget:

`omega=-(epsilon_0 W)/(R Q*1.2 ln 0.8)=``-(8.854*10^-12*1.2*10^-4)/(0.1*10^-7*1.2*ln 0.8)~~``3.97*10^-7 \ \text{C}/(\text{m}^2)`

(Sanity check: az előjel stimmel, mert ha egy pozitív töltés közelebb mozgatásához pozitív munkát kellett végeznünk, akkor a henger taszította a töltést, tehát a henger is pozitívan töltött.)
Módosítva: 2 hete
0